路边沿坎上违停的管理责任主要归属于公安机关交通管理部门，但在特定情况下，城市管理部门也可能参与管理。以下是对这一问题的详细分析：
一、公安机关交通管理部门的管理职责
根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，公安机关交通管理部门负责全国道路交通安全管理工作。这包括了对道路交通秩序的维护、交通违法行为的查处等。路边沿坎，作为道路的一部分（尽管可能不属于机动车道或非机动车道），其上的违停行为同样受到该法的约束。因此，一般情况下，路边沿坎上的违停行为由公安机关交通管理部门负责管理。他们有权对违停车辆进行拍照取证、贴罚单，甚至拖移车辆等处理措施。
二、城市管理部门在特定情况下的管理职责
虽然公安机关交通管理部门是道路交通安全管理的主要部门，但在某些特定情况下，城市管理部门也可能对路边沿坎上的违停行为进行管理。这主要发生在以下两种情形：
人行道上的违停：如果路边沿坎紧邻人行道，且违停车辆占用了人行道空间，影响了行人的正常通行，那么城市管理部门（如城管部门）有权对此类违停行为进行管理。他们可能会依据相关城市管理法规，对违停车辆进行处罚或采取其他管理措施。
特定区域或时段的违停：在某些特定区域（如学校、医院、商场等周边）或特定时段（如上下班高峰期），为了缓解交通压力或保障行人安全，地方政府可能会授权城市管理部门对路边沿坎上的违停行为进行临时管理。这种情况下，城市管理部门会依据地方政府的授权和相关规定，对违停车辆进行处罚或管理。
三、实际管理中的协作与配合
在实际操作中，公安机关交通管理部门和城市管理部门往往会形成协作机制，共同维护道路交通秩序和城市管理秩序。例如，在查处违停行为时，两个部门可能会共享信息、联合执法，以提高管理效率和效果。
四、建议与提醒
对于车主而言，为了避免因违停而受到处罚，应当严格遵守道路交通安全法规和城市管理规定，将车辆停放在指定的停车区域或停车场内。如果确实需要临时停车，也应当选择不妨碍其他车辆和行人通行的地点，并尽快驶离。
如果您在路边沿坎上违停方面遇到了法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业、全面的法律建议。