结论：日用百货商店非故意销售了一包过期的医用棉签，可能面临民事赔偿、行政处罚等法律后果，具体处理方式需根据实际情况确定。以下从民事赔偿、行政处罚及预防措施三个角度进行详细分析。
一、民事赔偿角度
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因产品存在缺陷造成他人损害的，生产者应当承担侵权责任。销售者不能指明缺陷产品的生产者也不能指明缺陷产品的供货者的，销售者应当承担侵权责任。在此案例中，虽然商店非故意销售过期棉签，但仍需对消费者因使用过期棉签可能遭受的损害承担赔偿责任。
赔偿范围：
- 赔偿范围通常包括消费者因使用过期棉签而产生的直接损失，如医疗费用、误工费等。若因过期棉签导致消费者健康受损，还可能涉及精神损害赔偿。
处理建议：
- 商店应主动与消费者沟通，了解消费者因使用过期棉签而遭受的损失，并协商赔偿事宜。若协商不成，消费者可能通过法律途径解决，商店应做好应诉准备。
二、行政处罚角度
法律依据：
- 根据《中华人民共和国产品质量法》的相关规定，销售失效、变质的产品，尚不构成犯罪的，由市场监督管理部门没收违法销售的产品，并处违法销售产品货值金额二倍以下的罚款；有违法所得的，并处没收违法所得；情节严重的，吊销营业执照。
处罚可能性：
- 商店因非故意销售过期棉签，虽可能减轻处罚，但仍可能面临罚款、没收违法所得等行政处罚。若情节严重，如多次销售过期产品或造成严重后果，还可能面临吊销营业执照的处罚。
处理建议：
- 商店应积极配合市场监督管理部门的调查，如实说明情况，提供相关证据。同时，应主动整改，加强产品质量管理，防止类似事件再次发生。
三、预防措施角度
加强库存管理：
- 商店应建立完善的库存管理制度，定期检查库存产品的有效期，确保销售的产品均在有效期内。
提高员工素质：
- 商店应加强对员工的培训，提高员工对产品质量和有效期的认识，避免因疏忽而销售过期产品。
建立消费者反馈机制：
- 商店应建立消费者反馈机制，及时了解消费者对产品的意见和建议，以便及时发现问题并改进。
总结与建议：日用百货商店非故意销售过期医用棉签，虽可能减轻法律责任，但仍需承担民事赔偿和可能面临的行政处罚。为避免类似事件再次发生，商店应加强库存管理、提高员工素质、建立消费者反馈机制等预防措施。若遇到相关法律问题，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律建议。