关于网上立案申请后邮寄材料的法律规定，这主要涉及到网上立案的无纸化操作以及特殊情况下的纸质材料提交要求。以下是根据相关法律法规及司法实践，为您提供的详细解答：
一、网上立案的无纸化操作
根据《人民法院在线诉讼规则》以及上海市高级人民法院的相关规定，网上立案主要采用无纸化操作。这意味着，当事人在网上提交符合要求的起诉状等材料后，人民法院原则上不得再要求当事人提供纸质件。这一规定旨在提高诉讼效率，节约诉讼成本，并方便当事人进行诉讼活动。
二、特殊情况下的纸质材料提交
尽管网上立案主要采用无纸化操作，但在某些特殊情况下，法院仍可能要求当事人提供纸质材料。这些特殊情况包括但不限于：
对方当事人申请：如果对方当事人对网上提交的材料有异议，或者认为需要核对纸质原件，法院可能会根据案件审理需要，要求当事人提供纸质材料。
案件审理需要：在某些复杂或特殊的案件中，法院可能认为纸质材料更有助于案件的审理和判断，因此会要求当事人提供。
三、邮寄材料的具体要求
如果法院要求当事人邮寄纸质材料，当事人应当按照以下要求进行：
材料完整性：确保邮寄的材料完整、齐全，与网上提交的材料一致。
材料真实性：邮寄的材料应当真实、有效，不得伪造或篡改。
邮寄方式：选择安全、可靠的邮寄方式，如EMS等，并保留好邮寄凭证，以便查询和追踪。
邮寄时间：按照法院要求的期限及时邮寄，避免因逾期而影响案件的审理。
四、相关法律依据
《人民法院在线诉讼规则》第九条：当事人采取在线方式提交起诉材料的，人民法院应当在收到材料后的法定期限内，在线作出处理。当事人已在线提交符合要求的起诉状等材料的，人民法院不得要求当事人再提供纸质件。
《上海市高级人民法院关于全面落实网上立案诉状材料无纸化操作的通知》：当事人通过网上立案平台提交诉状材料，经审查符合立案受理条件的，即予立案；立案、审判、执行部门都不得要求当事人重复提交上述诉状材料的纸质版本。
五、司法实践情况
以上海市高级人民法院为例，其网上立案系统已经相对成熟，并广泛推广无纸化操作。根据相关数据，上海三级法院在近三年内电子送达案件数量占送达案件总量的比例较高，这进一步证明了网上立案和电子送达的便捷性和高效性。
综上所述，网上立案申请后邮寄材料的情况主要发生在特殊情况下，且当事人应当按照法院的要求及时、完整、真实地邮寄纸质材料。在大多数情况下，网上立案采用无纸化操作，无需邮寄纸质材料。