针对您提出的“不签合同开除员工怎么赔偿”的问题，这确实涉及到了两个主要的法律方面：一是未签订书面劳动合同的赔偿责任，二是违法解除劳动关系的赔偿责任。下面我将结合相关法律法规，为您详细解析这两个问题。
一、未签订书面劳动合同的赔偿责任
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在建立劳动关系时，应当与劳动者订立书面劳动合同。如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，那么它需要向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿，这个赔偿的最长期限是11个月。
举例来说：如果您在2024年1月1日入职某公司，但公司一直未与您签订书面劳动合同，直到2024年11月1日将您开除。那么，从2024年2月1日至2024年10月31日（因为最长赔偿11个月，且入职首月不计入内），公司除了正常发放您的工资外，还需要额外向您支付这9个月的二倍工资作为赔偿。
二、违法解除劳动关系的赔偿责任
如果用人单位无正当理由开除员工，这种行为被认定为违法解除劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位需要按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的标准是按照劳动者在本单位工作的年限来计算，每满一年支付一个月工资的经济补偿；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资指的是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
再举一例：如果您在某公司工作了3年零3个月，月平均工资为6000元。如果公司无正当理由将您开除，那么它应该支付的赔偿金就是6000元×3.5个月×2=42000元。但是，如果您是因为犯错或不能胜任工作而被开除，那么公司就不需要支付这笔赔偿金。
三、额外注意事项与维权建议
未提前通知的额外赔偿：如果用人单位在开除员工时没有提前一个月通知，或者没有多给一个月工资作为代通知金，那么它还需要根据员工的工作年限额外支付赔偿金，每满一年支付一个月工资的标准进行赔偿。
证据收集：在主张上述赔偿时，您需要收集相关证据来证明与用人单位存在劳动关系以及您的工作时间、工资水平等关键信息。这些证据可以包括工资支付记录（如银行流水、工资条）、工作证、考勤记录、同事证言等。
维权途径：如果您与用人单位就赔偿问题无法达成一致，您可以先尝试与公司进行协商。如果协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉，或者依法向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在维权过程中，我建议您及时咨询专业律师或法律机构，以确保您的权益得到充分保护。
综上所述，具体赔偿情况需要根据实际情况进行判断。如果您遇到了此类问题，我建议您及时咨询专业律师或相关法律机构，以便更好地维护自身合法权益。