作为遗嘱见证人的律师，在立遗嘱人过世后，受赠人在60天内前来，律师应采取以下步骤和措施：

1. 核实受赠人身份与遗嘱真实性：

   • 首先，律师需要核实前来联系的受赠人的身份，确认其是否为遗嘱中指定的受赠人。
   • 同时，律师应再次确认遗嘱的真实性和有效性，包括遗嘱的签署日期、立遗嘱人的精神状态、遗嘱内容是否清晰明确等，以确保遗嘱是立遗嘱人真实意愿的表达。

2. 提供遗嘱副本或相关信息：

   • 在确认受赠人身份和遗嘱真实性后，律师可以根据立遗嘱人生前的指示或遗嘱中的约定，向受赠人提供遗嘱的副本或相关关键信息。
   • 如果遗嘱中有涉及保密条款或特定条件，律师应确保在提供信息时遵守这些条款和条件。

3. 解释遗嘱内容与执行流程：

   • 律师应向受赠人详细解释遗嘱的内容，包括受赠的财产种类、数量、价值以及任何特定的条件或限制。
   • 同时，律师还应向受赠人说明遗嘱的执行流程，包括需要办理的手续、可能涉及的税费以及时间节点等。

4. 协助受赠人办理继承手续：

   • 根据受赠人的需求，律师可以协助其办理继承手续，如准备相关文件、联系公证机构或法院等。
   • 在办理过程中，律师应确保所有手续都符合法律法规的要求，以保护受赠人的合法权益。

5. 处理可能出现的争议或纠纷：

   • 如果在遗嘱执行过程中出现争议或纠纷，律师应作为中立方进行调解或提供法律意见。
   • 如果争议无法通过调解解决，律师可以代表受赠人参与诉讼或仲裁程序，以维护其合法权益。

额外建议：

• 保持沟通畅通：律师应与受赠人保持定期沟通，及时了解其需求和进展，确保遗嘱执行过程的顺利进行。
• 保护立遗嘱人隐私：在处理遗嘱相关事务时，律师应严格遵守保密义务，保护立遗嘱人的隐私和个人信息。
• 遵循法律法规：在整个遗嘱执行过程中，律师应始终遵循相关法律法规的要求，确保所有行为都合法合规。

若您在遗嘱见证或执行过程中遇到任何法律问题，可以直接向我咨询，我会为您提供专业、详细的解答。