员工在未签订书面劳动合同的情况下被辞退，其赔偿问题确实是一个涉及《中华人民共和国劳动合同法》多个条款的复杂议题。以下是对此问题的详细解答：
一、未签订书面劳动合同的赔偿
法律依据： 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在保护劳动者的权益，确保劳动关系的明确和稳定。
计算方式： 二倍工资的起算时间为用工之日起满一个月的次日，截止时间为补订书面劳动合同的前一日，或劳动关系终止之日（以较早者为准），但最长可主张的期限为11个月。例如，如果员工入职后一直未签订书面劳动合同，且在入职后的第10个月被辞退，那么员工有权要求用人单位支付从入职后第2个月至第10个月，共9个月的双倍工资。
特殊情形： 若用人单位超过一年仍未与员工签订书面劳动合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。但在此之前，用人单位仍需支付未签订书面劳动合同期间的双倍工资。
二、辞退员工的经济补偿与赔偿
经济补偿标准： 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
违法辞退的赔偿金： 如果用人单位无故辞退员工，且员工没有《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的可以解除劳动合同的情形（如试用期间不符合录用条件、严重违反用人单位规章制度等），则构成违法辞退。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位应依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。例如，如果员工在公司工作了3年零7个月，前十二个月平均工资为5000元，被公司违法辞退，则公司应支付40000元（5000元×4×2）的赔偿金。
三、合法辞退且无需支付额外赔偿的情形
如果劳动者存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形，如试用期间不符合录用条件、严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等，用人单位可以合法辞退职工，且无需支付赔偿金。同时，如果是因劳动者原因导致未签订书面劳动合同的，用人单位也不存在未签订合同的二倍工资赔偿。
四、其他注意事项
工资结清：被公司辞退的员工有权要求工资立马结清。依据我国相关法律，用人单位不签订劳动合同，劳动者要解除劳动合同的，工资应在解除劳动合同时一次性支付。
证据收集：劳动者在维权过程中，应积极收集能证明劳动关系的证据，如工资支付凭证、工作证、考勤记录、同事证言、电子邮件往来等。这些证据将有助于劳动者更好地维护自己的权益。
维权途径：如果协商不成，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。在仲裁或诉讼过程中，劳动者应提供充分的证据来支持自己的主张。
综上所述，员工在未签订书面劳动合同的情况下被辞退时，应充分了解自己的权益和赔偿标准，积极收集证据，并通过合法途径维护自己的权益。如果遇到复杂情况或不确定如何处理时，建议咨询专业律师或相关机构以获取更具体的帮助。