针对您购买卡后无法预约且退款遭拒的情况，首先明确结论：您有权要求退款，若商家拒绝，可通过协商、投诉或诉讼等途径解决。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律背景与依据
《消费者权益保护法》的相关规定：
- 根据《消费者权益保护法》，消费者享有公平交易权，即有权获得质量保障、价格合理、计量正确等公平交易条件。若商家提供的服务（如预约服务）无法正常使用，且商家拒绝退款，可能构成对消费者公平交易权的侵害。
- 同时，该法还规定了消费者的求偿权，即消费者因购买、使用商品或者接受服务受到人身、财产损害的，享有依法获得赔偿的权利。在此情况下，您因无法预约服务而遭受的损失（如时间成本、机会成本等），有权要求商家进行赔偿，当然，最直接且常见的赔偿方式就是退款。
合同法的相关规定：
- 您与商家之间形成了服务合同关系。若商家未能按照合同约定提供服务（即无法预约），且该无法预约的原因非因您自身原因造成，则商家构成违约。
- 根据《民法典》（原《合同法》已废止，相关内容纳入《民法典》）中关于违约责任的规定，违约方应承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。在此情况下，您有权要求商家继续履行（即提供可预约的服务）或赔偿损失（即退款）。
二、可能的解决途径
与商家协商：
- 首先，您可以尝试与商家进行沟通，说明您的情况并要求退款。在协商过程中，保持冷静和理性，明确表达您的诉求和依据。
- 若商家同意退款，则问题得到解决。若商家拒绝或拖延退款，您可以考虑采取其他途径。
向消费者协会或相关监管部门投诉：
- 若协商无果，您可以向当地的消费者协会或相关监管部门（如市场监督管理局）进行投诉。
- 投诉时，提供详细的购买凭证、无法预约的证据以及与商家的沟通记录等，以便相关部门进行调查和处理。
通过法律途径解决：
- 若投诉仍未解决问题，您可以考虑通过法律途径解决。即向法院提起诉讼，要求商家退款并承担相关费用（如诉讼费、律师费等）。
- 在诉讼过程中，您需要提供充分的证据证明商家存在违约行为，并证明您因此遭受了损失。
三、注意事项与建议
保留证据：
- 在整个过程中，务必保留好所有与购买、预约和退款相关的证据，如购买凭证、预约记录、沟通记录等。这些证据将对您后续的维权行动至关重要。
了解商家信息：
- 在购买前，尽量了解商家的信誉和口碑。避免向信誉不佳或存在大量投诉的商家购买服务。
谨慎选择解决途径：
- 在选择解决途径时，根据您的实际情况和需求进行谨慎选择。若问题较为简单且金额不大，协商或投诉可能是更快捷的方式；若问题复杂或金额较大，则可能需要考虑通过法律途径解决。
最后，若您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。