结论前置：不能直接起诉银行，但可以通过其他合法途径解决因部分继承人不愿公证导致的遗产继承问题。以下为详细分析：

1. 不能直接起诉银行的原因

   • 银行无过错：银行在处理遗产继承相关业务时，通常要求继承人提供公证文书等合法有效的继承权证明文件，这是为了保障资金安全、防范法律风险，符合行业规范和法律规定。若继承人无法提供完整有效的继承权证明，银行拒绝办理相关业务并不构成侵权或违约，因此继承人不能直接以银行为被告提起诉讼。
   • 诉讼对象错误：遗产继承纠纷的本质是继承人之间就遗产分配等问题产生的争议，而非银行与继承人之间的纠纷。即使部分继承人不愿公证导致遗产无法顺利继承，也应通过解决继承人之间的矛盾来推动问题解决，而非将矛盾指向银行。

2. 可采取的合法途径

   • 协商解决：继承人之间应首先尝试通过友好协商的方式，就遗产分配达成一致意见。可以邀请家族长辈、亲友或中立第三方参与调解，以促成共识。
   • 调解：若协商无果，可以向当地的人民调解委员会申请调解。人民调解委员会是依法设立的调解民间纠纷的群众性组织，其调解协议具有法律约束力，且调解过程不收取费用，是一种高效、便捷的解决纠纷方式。
   • 诉讼：若调解仍无法解决问题，继承人可以向人民法院提起诉讼，请求法院对遗产继承问题进行判决。在诉讼过程中，法院将依法审查继承人提供的证据，包括遗产查询函、亲属关系证明等，并根据法律规定和案件事实作出公正判决。判决生效后，继承人可凭判决书要求银行办理相关业务。

3. 关于公证的说明

   • 公证的作用：公证是公证机构根据自然人、法人或者其他组织的申请，依照法定程序对民事法律行为、有法律意义的事实和文书的真实性、合法性予以证明的活动。在遗产继承中，公证可以确认继承人的身份和继承权，为银行等金融机构提供合法有效的继承权证明文件，从而保障遗产继承的顺利进行。
   • 公证的替代方案：若部分继承人确实不愿公证，但其他继承人能够提供充分证据证明其继承权（如遗嘱、亲属关系证明、其他继承人的书面声明等），且这些证据能够被法院采信，则可以通过诉讼途径解决遗产继承问题，而无需完全依赖公证。