在病人逃跑并死亡的情况下，责任归属需根据具体情况进行判断，无法一概而论。以下从不同角度进行分析：
医疗机构责任：
- 若医疗机构存在过错：例如，医疗机构未尽到安全管理义务，如未对病人进行必要的看护或监管，导致病人能够轻易逃跑并因此死亡，医疗机构可能需要承担相应的民事赔偿责任。这种责任主要基于医疗机构对病人的安全保障义务，若因医疗机构的管理疏忽导致病人死亡，医疗机构应承担过错责任。
- 若医疗机构无过错：如果医疗机构已经尽到了合理的安全管理义务，如采取了必要的看护措施，但病人仍因自身原因（如突然发病、自杀倾向等）逃跑并死亡，医疗机构通常不承担责任。因为医疗机构无法预见并防止所有可能的风险，特别是在病人具有自主行为能力且故意逃避监管的情况下。
病人自身责任：
- 病人自主行为导致：如果病人因自身原因（如精神疾病发作、自杀意图等）逃跑并死亡，且医疗机构已经尽到了合理的安全管理义务，那么病人自身可能需要承担主要责任。在这种情况下，病人的死亡是其自主行为的结果，与医疗机构的管理行为无直接因果关系。
第三方责任：
- 若存在第三方过错：例如，如果病人在逃跑过程中因第三方的过错（如交通事故、他人故意伤害等）导致死亡，那么第三方可能需要承担相应的法律责任。这种责任是基于第三方的过错行为与病人死亡之间的因果关系。
法律建议：
- 对于医疗机构：应加强安全管理，确保对病人的看护和监管到位，以防止类似事件的发生。同时，医疗机构应建立完善的应急预案，以应对可能出现的病人逃跑等紧急情况。
- 对于病人家属：如果认为医疗机构存在过错并导致病人死亡，可以收集相关证据（如监控录像、医疗记录等）并咨询专业律师，以评估是否可以通过法律途径追究医疗机构的责任。
- 对于第三方：如果因第三方的过错导致病人死亡，第三方应承担相应的法律责任。病人家属可以向第三方主张赔偿，并咨询专业律师以了解具体的法律程序和赔偿标准。
可能法律后果：
- 如果医疗机构被认定存在过错并导致病人死亡，医疗机构可能需要承担民事赔偿责任，包括赔偿病人家属的医疗费、丧葬费、精神损害抚慰金等。
- 如果第三方被认定存在过错并导致病人死亡，第三方可能需要承担刑事责任（如交通肇事罪、故意伤害罪等）和民事赔偿责任。
在处理此类案件时，应综合考虑各种因素，包括医疗机构的管理义务、病人的自主行为、第三方的过错等，以确定责任归属。如有具体法律问题，可以直接向我咨询。