核心前提：在正常行驶过程中，不慎将狗的腿压断，涉及责任认定及后续处理问题。

结论与处理建议：

1. 立即停车并查看情况：

   • 在确保安全的前提下，立即停车，查看狗的伤势。如果狗主人在场，应主动沟通，了解狗的情况，并表达歉意。

2. 责任认定：

   • 若狗未拴绳或违反交通规定：根据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关地方性法规，如果狗未拴绳或违反交通规定（如突然冲入机动车道），导致被车辆压伤，狗主人可能需要承担主要或全部责任。此时，你可以与狗主人协商，说明情况，并建议其自行承担狗的医疗费用。
   • 若你存在过错：如果你在行驶过程中存在疏忽（如超速、未注意观察路况等），导致压到狗，你可能需要承担一定的责任。此时，应与狗主人协商赔偿事宜，包括狗的医疗费用、可能的营养费等。如果协商不成，狗主人可能会通过法律途径解决，你需要做好应对准备。
   • 若双方均无过错：在某些情况下，可能双方均无过错，如狗突然从隐蔽处冲出，你无法及时避让。此时，可以协商分担部分费用，或者通过第三方调解（如社区、警方等）解决。

3. 保留证据：

   • 在处理过程中，务必保留好相关证据，如现场照片、视频、证人证言等。这些证据在后续的责任认定和赔偿协商中可能起到关键作用。

4. 法律途径：

   • 如果协商不成，狗主人或你均可选择通过法律途径解决。此时，建议咨询专业律师（即我本人），了解具体的法律程序和可能的结果，以便做出更明智的决策。

5. 预防措施：

   • 为了避免类似事件再次发生，建议你在行驶过程中保持高度警惕，注意观察路况和周围环境。同时，也呼吁狗主人遵守交通规定，拴好狗绳，确保狗的安全。

总结：在处理正常行驶中压断狗腿的问题时，应首先确保安全并查看情况，然后根据责任认定结果与狗主人协商赔偿事宜。如果协商不成，可以通过法律途径解决。在整个过程中，务必保留好相关证据，并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。