可以向企业写履职申请书，但需分情况讨论，具体如下：

1. 若您是企业的员工，申请履职属于内部管理范畴
   根据《劳动合同法》第三条，劳动者与用人单位建立劳动关系后，双方应依法履行各自义务。若您因岗位调整、职责变更等原因需向企业申请明确履职内容（如调岗后的职责确认、新增工作任务的书面确认等），属于企业内部管理沟通的范畴。此时，您可向企业提交书面履职申请书，但需注意：

   • 申请内容应明确具体（如岗位职责、工作目标、考核标准等）；
     
   • 建议通过企业规定的流程（如OA系统、书面签收等）提交，以保留证据；
     
   • 若企业拒绝或未回复，可进一步通过协商或劳动仲裁主张权利（如涉及未提供劳动条件等争议）。

2. 若您是外部主体（如合作方、监管机构等），需依据合同或法律要求履职

   • 合作方：若您与企业签订了合作协议（如服务合同、委托合同等），且协议中约定了您的履职义务（如提供特定服务、完成特定任务等），您可依据合同约定向企业提交履职申请书（如申请配合事项、确认履职进度等）。此时，法律依据为《民法典》第四百六十五条（合同履行原则）及第五百零九条（全面履行义务）。
     
   • 监管机构：若您代表行政机关或行业组织履行监管职责（如检查、审计等），需依据《行政许可法》《审计法》等法律法规，通过正式公文（如履职通知书、检查通知书等）要求企业配合。此时，履职申请书属于行政行为的一部分，具有强制力。

3. 注意事项

   • 形式要件：履职申请书应采用书面形式，明确申请主体、申请事项、法律依据及请求内容（如要求企业提供资料、确认职责等）；
     
   • 证据留存：建议通过EMS邮寄（留存邮寄凭证）或企业签收方式提交，避免口头申请无证据；
     
   • 法律后果：若企业未履行法定或约定义务，您可依据具体法律关系（如劳动争议、合同纠纷等）通过诉讼或仲裁主张权利。

总结：是否可以向企业写履职申请书，需结合您的身份（员工/外部主体）及法律关系（劳动关系/合同关系/行政关系）综合判断。若您有具体场景或文本草稿，可进一步向我咨询，我会结合实际情况为您分析。