肇事逃逸导致轻伤一级的情况下，通常不会直接涉及交通肇事罪的刑事处罚，但需承担行政责任和民事赔偿责任。若存在特别恶劣情节或造成严重后果，则可能构成交通肇事罪或其他相关犯罪，需根据具体情节量刑。以下是对此问题的详细分析：
一、不构成交通肇事罪的原因
根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条及相关司法解释，交通肇事罪是指违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的行为。具体而言，交通肇事致一人以上重伤，并负事故全部或主要责任，同时具有为逃避法律追究逃离事故现场情形的，才以交通肇事罪定罪处罚。由于肇事逃逸仅致人轻伤，未达到“重伤、死亡或使公私财产遭受重大损失”的标准，因此一般不构成交通肇事罪，不会面临刑事处罚。
二、行政责任
尽管不构成犯罪，但肇事逃逸者仍需承担行政责任。根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条的规定，对于造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的行为，公安机关交通管理部门将处以二百元以上二千元以下罚款，并可并处十五日以下拘留。此外，逃逸者的机动车驾驶证将被吊销，且终生不得重新取得机动车驾驶证。这一规定旨在维护道路交通秩序，保障公共安全，并对逃逸行为进行严厉打击。
三、民事赔偿责任
肇事逃逸者还需对受害者的轻伤承担民事赔偿责任。赔偿项目通常包括但不限于医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费以及必要的营养费等。具体的赔偿金额应根据受害者的实际损失以及相关证据来确定，确保受害者得到合理的经济补偿。
四、可能构成犯罪的特殊情况
如果肇事逃逸行为存在其他特别恶劣情节或造成严重后果（如引发二次事故、导致多人受伤或财产损失等），则可能构成交通肇事罪或其他相关犯罪。此时，将根据具体的情节进行量刑，可能面临的刑罚包括三年以上七年以下有期徒刑（交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的）或七年以上有期徒刑（因逃逸致人死亡的）。但需注意，这些刑罚是针对更严重的犯罪情节，与仅致人轻伤的情况不同。
五、法律建议
每个交通肇事逃逸案件都有其独特性，判决结果会受到多种因素的影响。因此，在实际案件中，建议当事人及时寻求专业法律人士的帮助，以便更好地了解自己的权利和义务，确保权益得到充分保护。