面对私立医院出现的医疗事故，患者及家属确实需要采取一系列冷静且有序的措施来维护自身的合法权益。以下是一份详细的处理指南，希望能为您提供帮助：

一、首要确保患者安全，并考虑停止治疗

在医疗事故发生后，患者的生命健康是首要考虑的。如果患者的状况仍然危急，应立即要求医院组织专业力量进行积极救治，以防止损害后果的进一步扩大。同时，在确认存在医疗事故或疑似医疗事故的情况下，为了避免患者受到进一步的伤害，可以考虑暂时停止在该医院的治疗，并尽快寻求其他医疗机构的帮助。

二、全面保留相关证据

证据是后续处理医疗事故的关键。患者及家属应及时向医院提出封存病历的要求，这包括患者的症状描述、诊断结果、治疗方案、各项检查结果等。此外，还应妥善保留所有与医疗事故相关的物品，如疑似导致不良后果的药品、医疗器械，以及就医记录、用药清单、过敏反应的症状表现等。这些证据将在后续的协商、投诉或诉讼过程中发挥重要作用。

三、与医院进行沟通协商

在保留好证据后，患者及家属应主动与医院的医务科、医患关系办公室等部门联系，详细陈述事情的经过，并提出自己的疑问和诉求。同时，可以要求医院出具事件的书面说明，并就医疗事件进行调查，反馈调查结果和处理方案。通过沟通协商，有时可以达成双方都能接受的解决方案。

四、向卫生行政部门投诉

如果医院未能妥善处理医疗事故，或者患者及家属对处理结果不满意，可以向当地的卫生行政部门（如卫生局）提出投诉。卫生行政部门将负责调查处理医疗事故，并可能组织调解工作，以维护患者的合法权益。

五、申请医疗事故技术鉴定

在双方对是否构成医疗事故存在争议时，可以共同委托有资质的医学会进行医疗事故技术鉴定。鉴定过程中，需要准备并提交包括病历资料、相关检查报告、患者身份证明等在内的鉴定材料，并积极配合鉴定过程。鉴定结果将明确责任归属和事故等级，为后续的赔偿或法律诉讼提供依据。

六、协商赔偿或提起诉讼

基于鉴定结果和相关法律法规，患者及家属可以与医院协商赔偿事宜。如果双方能够达成一致，应制作详细的协议书并签字确认。如果协商不成，患者及家属可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，需要提供充分的证据来支持自己的诉讼请求，并遵循法律程序。

七、保持冷静理性，依法维权

在整个处理过程中，患者及家属应保持冷静理性，避免采取过激行为影响问题的解决。同时，应关注相关法律法规的变化，以便更好地维护自身权益。

总之，面对私立医院出现的医疗事故，患者及家属应依法有序地采取措施保护自己的合法权益。同时，也希望医院能够加强医疗质量管理，提高医疗服务水平，以减少医疗事故的发生。