当劳动合同第二次到期，且员工提出不续签时，关于赔偿的问题，我们需要根据《劳动合同法》及相关法规进行详细分析。以下是对这一问题的清晰、详细且深入的解答：
一、核心结论
在劳动合同第二次到期，员工提出不续签的情况下，若用人单位维持或提高了劳动合同的约定条件，而员工仍然选择不续签，那么用人单位无需支付经济补偿。但若用人单位降低了劳动合同的约定条件，导致员工不愿续签，或者用人单位存在其他过错（如未依法为劳动者缴纳社会保险费等），则用人单位需要向员工支付经济补偿。
二、经济补偿的支付条件与计算标准
支付条件：
- 根据《劳动合同法》第四十六条第五项，除非用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
计算标准：
- 经济补偿的计算依据劳动者在本单位的工作年限和劳动合同终止前十二个月的平均工资来确定。
- 具体为：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 这里的“月工资”是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若劳动者的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
三、特定情形下的处理
用人单位降低条件续订：
- 如果用人单位在续订劳动合同时降低了原有的劳动条件，导致员工不愿续签，那么用人单位需要按照上述经济补偿的计算标准向员工支付经济补偿。
员工存在过错：
- 如果员工因严重违反用人单位的规章制度、被依法追究刑事责任等法定过错情形导致用人单位决定不续签劳动合同的（尽管这种情况更多出现在用人单位不续签的语境下，但理论上员工过错也可能影响续签意愿的合理性判断，不过直接法律后果通常不是经济补偿的免除，而是合同解除的合法性），但在此我们主要讨论员工主动不续签的情况，若员工因个人原因（非用人单位过错）不续签，且用人单位未降低条件，则无需支付经济补偿。若员工因用人单位存在如未依法缴纳社保等过错而不续签，则用人单位需支付经济补偿。
无固定期限劳动合同的订立：
- 在连续订立二次固定期限劳动合同后，若员工没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，且员工提出或同意续订、订立劳动合同的，除员工提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。若用人单位违反此规定不与员工订立无固定期限劳动合同，自应当订立之日起需向员工每月支付二倍的工资。不过，这一情形主要关联到用人单位未依法订立无固定期限劳动合同的责任，并不直接涉及员工主动不续签时的经济补偿问题。
四、维权建议
- 沟通协商：员工在遇到合同到期不续签的情况时，应首先与公司进行沟通协商，明确双方的权利和义务。
- 保留证据：为确保维权成功，员工应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录、公司降低条件的证明（如邮件、通知等）等。
- 寻求帮助：若双方无法达成一致，员工可以寻求劳动仲裁委员会或人民法院的帮助来维护自己的合法权益。
综上所述，劳动合同第二次到期员工提出不续签时的赔偿问题，主要取决于用人单位是否维持或提高了劳动合同的约定条件。若用人单位未降低条件且员工主动不续签，则无需支付经济补偿；若用人单位降低了条件或存在其他过错导致员工不愿续签，则需按照法律规定支付经济补偿。