私人名下商标可以通过遗嘱继承或法定继承的方式让子女继承。以下从这两个方面详细说明：

遗嘱继承

1. 遗嘱的设立：商标权人作为立遗嘱人，可以依照自己的意愿，通过设立遗嘱的方式，指定其子女为商标权的继承人。遗嘱的形式可以是自书遗嘱、代书遗嘱、录音遗嘱、口头遗嘱（在危急情况下）或公证遗嘱等。其中，公证遗嘱的效力相对较高，但其他形式的遗嘱在符合法定条件时同样具有法律效力。
2. 遗嘱的内容：遗嘱中应明确指定商标权的继承人（即子女），并可以详细说明继承的具体商标信息、继承方式（如单独继承或共同继承）以及继承后商标的使用、管理等事项。
3. 遗嘱的执行：在立遗嘱人去世后，遗嘱执行人或继承人应按照遗嘱的内容，向商标局办理商标权继承的变更手续。这通常需要提交立遗嘱人的死亡证明、遗嘱原件或公证遗嘱的公证书、继承人的身份证明以及商标权变更申请书等文件。

法定继承

1. 法定继承的适用条件：如果商标权人未设立遗嘱，或者遗嘱无效、部分无效，或者遗嘱中未对商标权进行处分，那么商标权将按照法定继承的方式进行处理。
2. 法定继承人的范围：根据《中华人民共和国民法典》的规定，法定继承人包括配偶、子女、父母、兄弟姐妹、祖父母、外祖父母等。在商标权继承中，子女作为第一顺序继承人，有权继承商标权。
3. 继承份额的确定：在法定继承中，同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等。但对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，分配遗产时，应当予以照顾。对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，分配遗产时，可以多分。有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时，应当不分或者少分。继承人之间也可以协商确定继承份额。
4. 继承手续的办理：在法定继承的情况下，继承人应向商标局办理商标权继承的变更手续。这通常需要提交立遗嘱人的死亡证明、继承人的身份证明、亲属关系证明（如户口簿、出生证明等）以及商标权变更申请书等文件。如果继承人之间对继承份额有争议，可能需要先通过诉讼或调解等方式解决争议，再办理商标权变更手续。

额外提醒：在商标权继承过程中，还可能涉及商标权的评估、转让、许可使用等问题。因此，在办理商标权继承手续时，建议继承人咨询专业的商标代理机构或律师，以确保手续的合法性和有效性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。