核心结论：父亲去世后，无民事行为能力的母亲可通过指定监护人、利用其财产支付赡养费用、申请社会救助以及子女直接履行赡养义务等方式进行赡养。以下为具体分析：

1. 指定监护人

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第二十八条，无民事行为能力或者限制民事行为能力的成年人，由下列有监护能力的人按顺序担任监护人：（一）配偶；（二）父母、子女；（三）其他近亲属；（四）其他愿意担任监护人的个人或者组织，但是须经被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意。在父亲去世后，母亲的子女应作为第一顺位的监护人候选人，承担起监护职责，这包括照顾母亲的生活起居、管理其财产等。
   • 实际操作：子女之间可以协商确定监护人，若协商不成，可由被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门指定监护人，也可以直接向人民法院申请指定监护人。

2. 利用母亲财产支付赡养费用

   • 财产管理：作为监护人，子女有权管理母亲的财产，但应为了母亲的利益而使用，不得损害母亲的权益。若母亲有足够的财产，如存款、房产等，子女可以用这些财产来支付母亲的赡养费用，包括生活费、医疗费等。
   • 注意事项：在使用母亲财产时，应确保透明公开，避免与其他继承人产生纠纷。同时，应保留好相关凭证，以备不时之需。

3. 申请社会救助

   • 救助途径：若母亲经济困难，无法承担自己的生活费用，子女可以为其申请社会救助，如最低生活保障、特困人员供养等。这些救助措施可以在一定程度上减轻子女的赡养负担。
   • 申请流程：具体申请流程可能因地区而异，一般需要向当地的民政部门或社区服务中心提出申请，并提供相关证明材料，如母亲的身份证、户口本、收入证明等。

4. 子女直接履行赡养义务

   • 赡养内容：根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条，成年子女不履行赡养义务的，缺乏劳动能力或者生活困难的父母，有要求成年子女给付赡养费的权利。因此，子女有义务直接赡养母亲，包括提供生活上的照料、精神上的慰藉以及经济上的支持。
   • 赡养方式：子女可以根据自己的实际情况，选择与母亲共同居住、定期探望、支付赡养费等方式来履行赡养义务。若子女之间无法就赡养方式达成一致，可以协商或通过法律途径解决。

在处理此类问题时，建议子女之间保持沟通，共同协商赡养方案，以确保母亲能够得到妥善的照顾。若遇到法律纠纷或无法解决的问题，可直接向我咨询。