若你起诉你老公涉嫌重婚罪，公安机关会依法展开调查，调查方式主要包括收集证据、询问相关人员、技术侦查等，具体如下：

1. 收集证据

   • 书证收集：公安机关会收集可能证明重婚的各类书面材料，如你老公与第三者以夫妻名义共同生活的书面协议、声明、承诺书等；还有他们共同签署的涉及生活、经济等方面的文件，像租房合同、购房合同（若以夫妻名义购买）、银行共同账户开户资料等。这些书证能够直接或间接反映他们以夫妻关系相处的事实。
   • 物证收集：物证也是重要证据之一。公安机关可能会收集你老公与第三者共同生活的住所内的物品，如带有双方名字的定制物品、共同使用的生活用品且摆放方式呈现出夫妻共同生活的特征等；还有他们共同拥有的财产凭证，如车辆行驶证（若登记在双方名下或能证明共同使用）、贵重物品购买发票且显示是为双方共同购置等。
   • 视听资料收集：视听资料能直观地呈现相关情况。公安机关可能会调取你老公与第三者以夫妻名义公开活动的视频，比如在公共场合举止亲密、共同参加家庭聚会、社交活动等视频；还有他们之间的通话录音、聊天记录（若能证明以夫妻身份交流生活琐事、情感问题等），但收集这类证据需注意合法性，不能通过非法手段获取。
   • 证人证言收集：公安机关会寻找了解情况的证人进行询问并制作笔录。证人可能包括你们的邻居，他们可能目睹你老公与第三者以夫妻名义共同进出住所、生活起居等情况；还有他们的朋友、同事，了解他们在社交场合中是否以夫妻身份相称、共同参与活动等；以及可能知晓他们关系的其他人员，如共同办理业务的工作人员等。

2. 询问相关人员

   • 询问你老公：公安机关会依法传唤你老公到指定地点进行询问，了解他与第三者相识、相恋、共同生活的过程，询问他们是否以夫妻名义对外宣称、共同生活的时间、地点、方式等详细情况。你老公的陈述对于查明案件事实至关重要，但需要注意其陈述可能存在不实或隐瞒的情况，需要结合其他证据进行综合判断。
   • 询问第三者：同样，公安机关也会对第三者进行询问，了解她与你老公的关系发展过程、是否知道你老公已婚、是否以夫妻名义与你老公共同生活等方面的内容。第三者的陈述也是案件证据的重要组成部分，其真实性也需要通过其他证据来印证。
   • 询问其他相关人员：除了你和上述证人外，公安机关还可能询问其他可能了解情况的人员，如你老公的亲属、你的亲属等，从不同角度了解你老公与第三者的关系以及他们是否以夫妻名义共同生活的情况。

3. 技术侦查（在符合法定条件时）

   • 如果案件情况复杂，仅通过常规调查手段难以获取关键证据，且符合法律规定的条件，公安机关可能会采取技术侦查措施。例如，在经过严格的审批程序后，对你老公与第三者的通信进行监控，获取他们之间的通话内容、短信、聊天记录等，以查明他们是否以夫妻身份进行交流、谋划共同生活等事项；或者对他们的活动轨迹进行追踪，了解他们共同出行的频率、地点等情况，进一步证明他们是否存在以夫妻名义共同生活的事实。但技术侦查措施的使用受到严格的法律限制，必须依法进行，以保障公民的合法权益。

在公安机关调查过程中，你需要积极配合，提供你所掌握的线索和证据，如你发现的你老公与第三者以夫妻名义共同生活的照片、视频、证人联系方式等，协助公安机关尽快查明案件事实。如果你还有其他关于重婚罪或婚姻家庭法律方面的问题，可以直接向我咨询。