结论：公司能否以开不出无犯罪证明为由不续签劳动合同，需分情况讨论，具体如下：

1. 若公司规章制度或劳动合同明确将无犯罪证明作为续签条件，且该规定合法合理
   根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可解除劳动合同。但“开不出无犯罪证明”本身不直接等同于“被追究刑事责任”。若公司规章制度或劳动合同中明确将“提供无犯罪证明”作为续签的必要条件，且该规定不违反法律强制性规定（如不歧视特定群体、不侵犯隐私权等），则公司可能以此为由不续签。但需注意：

   • 合法性审查：公司需证明该规定与岗位性质、工作内容直接相关（如涉及国家安全、金融安全等特殊岗位），且已通过民主程序制定并公示。
     
   • 举证责任：公司需提供证据证明其要求提供无犯罪证明的合理性，否则可能被认定为违法不续签。

2. 若公司无合法依据，仅以开不出无犯罪证明为由不续签
   根据《劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满的，除用人单位维持或提高劳动合同条件续签而劳动者拒绝外，用人单位不续签需支付经济补偿（N）。若公司无法证明其要求提供无犯罪证明的合法性，却以此为由不续签，可能构成违法终止劳动合同，需支付赔偿金（2N）。

   • 例外情形：若劳动者确实存在未披露的犯罪记录，且该记录与岗位直接相关（如财务岗位有贪污犯罪记录），公司可能依据《劳动合同法》第三十九条解除劳动合同，但需以“被追究刑事责任”为前提，而非“开不出证明”。

3. 实务建议

   • 对劳动者：若公司以此为由不续签，可要求公司出具书面说明，并核查其规章制度是否合法。若认为公司行为违法，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
     
   • 对公司：若需将无犯罪证明作为续签条件，应在规章制度中明确规定，并确保与岗位直接相关、通过民主程序制定。同时，应允许劳动者说明情况（如未犯罪但因系统原因无法开具证明），避免一刀切拒绝续签。

总结：公司能否以开不出无犯罪证明为由不续签，需结合其规章制度合法性、岗位关联性及劳动者实际情况综合判断。若您遇到此类问题，可直接向我咨询具体细节，我会结合您的实际情况提供进一步分析。