结论：在工伤且未认定劳动关系的情况下私了，是否需要支付律师费，取决于您与律师之间的委托合同约定以及律师是否实际提供了法律服务。
分析说明：
委托合同约定：
- 如果您与律师签订了委托合同，并且合同中明确约定了律师费的支付条件和方式，那么您应当按照合同约定支付律师费。这包括律师在代理过程中所进行的工作，如提供法律咨询、起草法律文件、参与谈判等。
- 如果合同中明确约定了即使未认定劳动关系或私了成功也需要支付律师费，那么您应当遵守这一约定。
律师实际提供的法律服务：
- 如果律师已经为您提供了法律服务，如协助您与对方进行谈判、起草和解协议等，并且这些服务是基于您的委托而进行的，那么您应当支付相应的律师费。
- 如果律师尚未提供实质性的法律服务，或者您与律师之间的委托关系尚未正式建立（例如，仅进行了初步咨询但未签订委托合同），那么您可能不需要支付律师费，或者只需支付少量的咨询费。
私了与律师费的关系：
- 私了本身并不直接影响律师费的支付。无论您是通过诉讼还是私了方式解决工伤纠纷，只要律师已经提供了法律服务，您就有义务支付律师费（除非合同另有约定）。
- 私了可能只是您与对方达成的一种解决纠纷的方式，而律师费则是您为获得法律服务而应支付的费用。
特殊场景：
- 如果您与律师在委托合同中明确约定了“风险代理”方式，即律师费与案件结果挂钩，那么在这种情况下，如果私了成功且您获得了相应的赔偿，您可能需要按照约定支付一定比例的律师费。但这种约定需要符合法律法规的规定，并且不得违反律师职业道德和执业规范。
行动建议：
- 审查委托合同：首先，您应当仔细审查与律师签订的委托合同，了解其中关于律师费支付的具体约定。
- 与律师沟通：如果您对律师费的支付有疑问或争议，建议您及时与律师进行沟通，明确双方的权利和义务。
- 保留证据：无论您是否需要支付律师费，都建议您保留好与律师之间的沟通记录、委托合同以及律师提供的法律服务的相关证据，以备不时之需。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国律师法》的相关规定，律师提供法律服务应当遵循诚实信用、勤勉尽责的原则，并按照约定收取律师费。
- 同时，根据《中华人民共和国民法典》中关于合同的规定，当事人应当按照约定履行自己的义务，包括支付律师费的义务。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。