结论：若法院院长与当事人存在可能影响公正审判的不正常私下关系，当事人可以申请该院长回避，但需满足法定条件并遵循法定程序。以下从法律依据、申请条件、申请程序三个角度展开说明：

1. 法律依据

根据《中华人民共和国法官法》第二十二条及《民事诉讼法》第四十七条（或《刑事诉讼法》第三十条，视案件类型而定），法官与当事人存在可能影响公正审判的利害关系时，当事人有权申请其回避。此处“利害关系”包括但不限于：

• 亲属关系（如近亲属）；
• 经济利益关系（如共同投资、债权债务）；
• 其他可能影响公正的关系（如长期密切交往、利益输送等）。

关键点：法律未明确列举“不正常关系”的具体情形，但强调“可能影响公正审判”的实质判断标准。若私下见面涉及上述利害关系，可能构成回避理由。

2. 申请条件

当事人申请回避需满足以下条件：

• 关系实质性：需证明院长与当事人的私下关系已达到“可能影响公正审判”的程度，而非单纯社交或工作接触。例如，若私下见面涉及案件处理意见交换、利益输送等，则符合条件；若仅为偶然碰面且无实质内容，则可能不构成。
• 时效性：需在案件审理过程中提出，若案件已审结，则无法申请回避。
• 证据支持：需提供初步证据证明关系异常，如录音、录像、证人证言、书面记录等。仅凭主观怀疑难以被采纳。

3. 申请程序

• 提出方式：当事人应以书面形式向法院提交《回避申请书》，明确说明回避理由及证据。
• 审查主体：由法院院长自行审查（若申请回避院长本人）或由上级法院指定其他法官审查。
• 决定效力：法院应在3日内作出决定，并通知申请人。若决定驳回，当事人可申请复议一次，复议期间不停止案件审理。

风险提示

• 举证难度：证明“不正常关系”需实质性证据，若证据不足，申请可能被驳回。
• 程序限制：回避申请仅针对具体案件，不涉及对院长个人行为的纪律处分（如需追责，需通过监察程序）。

建议：若您发现法院院长与当事人存在可能影响公正审判的私下关系，建议立即收集证据并提交书面回避申请。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。