工厂辞退员工时，是否支付经济补偿或赔偿金，以及支付的具体数额，主要取决于辞退的具体原因和劳动合同的相关约定。以下是对不同情形下补偿与赔偿规定的详细解答：

一、需支付经济补偿的情形

1. 协商解除

   • 情形：工厂与员工协商一致解除劳动合同。
   • 补偿标准：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。例如，若员工在工厂工作3年8个月，协商解除劳动合同时应获得4个月工资的经济补偿（3年×1个月+8个月按1年算×0.5个月，此处为简化计算，实际8个月按法律规定应直接视为1年计算补偿，即4个月，但为说明计算方式，故如此表述，核心意思是按工作年限对应月份支付）。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条、第四十七条。

2. 无过失性辞退

   • 情形：包括劳动者患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作、不能胜任工作经培训或调岗后仍不能胜任、劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化致使合同无法履行且未能就变更合同达成协议等。
   • 补偿标准：同样按上述工作年限计算方式支付经济补偿金，且需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付一个月工资后解除合同。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第四十条、第四十六条、第四十七条。

3. 经济性裁员

   • 情形：因企业破产重整、生产经营发生严重困难、转产/重大技术革新或经营方式调整导致需要裁减人员等。
   • 补偿标准：按工作年限支付经济补偿金，并优先留用特定人员（如签订较长期限固定期限劳动合同者、无固定期限劳动合同者、家庭无其他就业人员且有需扶养老人或未成年人者）。同时，需提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后将方案报劳动行政部门备案。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条、第四十六条、第四十七条。

4. 月工资标准

   • 如果劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
   • 计算公式：经济补偿金=工作年限×月工资（若月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，则按三倍计算，且年限最高不超过十二年）。

二、需支付赔偿金的情形

• 情形：工厂违反《中华人民共和国劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无任何合法理由单方面辞退员工。
• 赔偿标准：依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。例如，若合法辞退应支付4个月工资的经济补偿，则违法辞退需支付8个月工资赔偿金。
• 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条。

三、无需支付补偿或赔偿的情形

• 员工存在过错，如：在试用期间被证明不符合录用条件；严重违反工厂规章制度；严重失职，营私舞弊，给工厂造成重大损害；同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或拒不改正；以欺诈、胁迫手段或乘人之危使对方违背真实意思订立或变更劳动合同；被依法追究刑事责任。
• 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条。

四、额外注意事项

• 如果工厂未提前三十日以书面形式通知劳动者本人而解除劳动合同，除需支付经济补偿外，还需额外支付一个月工资作为代通知金。
• 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第四十条。

总结来说，工厂在辞退员工时，应仔细审查辞退原因和劳动合同的相关约定，以确定是否需要支付经济补偿或赔偿金，并确保支付标准和程序的合法性。同时，员工也应了解自己的权益和义务，以便在必要时维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。