结论：轻微伤一方对公安鉴定有异议时，确实可以申请司法鉴定，这是法律赋予当事人的权利。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与权利基础
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释的规定，当事人对公安机关的鉴定意见有异议的，有权申请重新鉴定或者补充鉴定。这一规定同样适用于轻微伤案件中的鉴定意见。因此，轻微伤一方对公安鉴定有异议时，申请司法鉴定是合法且合理的。
二、申请司法鉴定的流程
- 提出申请：当事人应当向原办案机关（通常是公安机关）提出书面申请，说明对鉴定意见的异议及申请重新鉴定或补充鉴定的理由。
- 审核决定：原办案机关会对申请进行审核，认为有必要的，会同意重新鉴定或补充鉴定，并委托具有相应资质的司法鉴定机构进行。
- 鉴定实施：司法鉴定机构会按照法定程序和标准进行鉴定，并出具鉴定意见。
- 结果告知：鉴定意见出具后，原办案机关会将鉴定意见告知当事人，并作为案件处理的依据。
三、申请司法鉴定时需要注意的事项
- 及时性：当事人应当在收到鉴定意见后尽快提出异议并申请重新鉴定或补充鉴定，以免错过最佳时机。
- 证据准备：在申请时，当事人应当提供充分的证据来支持自己的异议，如新的证据材料、专家意见等。
- 选择鉴定机构：虽然原办案机关会委托鉴定机构，但当事人也有权对鉴定机构的资质和信誉进行了解，并在必要时提出异议。不过，最终选择权通常仍在原办案机关。
- 遵守程序：当事人应当遵守司法鉴定的程序规定，如按时参加鉴定、提供必要的协助等。
四、司法鉴定结果的效力与后续处理
- 效力认定：司法鉴定意见作为证据的一种，其效力需经法庭审查认定。如果鉴定意见被法庭采纳，将作为案件处理的重要依据。
- 后续处理：根据司法鉴定意见的结果，原办案机关会依法对案件进行处理。如果鉴定意见与原鉴定意见不一致，且足以影响案件处理的，原办案机关会依法变更或撤销原处理决定。
五、特殊情况下的处理
如果当事人对司法鉴定意见仍有异议，且该异议可能影响案件公正处理的，当事人还可以依法申请鉴定人出庭作证或申请专家辅助人出庭对鉴定意见进行质证。在极端情况下，如果当事人认为鉴定过程存在严重违法或不当行为，还可以依法向相关部门投诉或举报。
建议：在申请司法鉴定前，当事人可以咨询专业律师（如我，余晖律师，专注于经济纠纷、合同纠纷、房产纠纷、劳动纠纷、侵权纠纷、婚姻家庭领域），了解具体的申请流程和注意事项，以便更好地维护自己的合法权益。如果有任何法律问题，可以直接向我咨询。