结论：被人打伤后拿刀追逐但没追上，这一行为是否构成犯罪，需结合具体情境和法律规定来综合判断，可能涉及故意伤害罪（未遂）、寻衅滋事罪或非法携带管制器具等违法行为的认定。以下从不同角度进行分析：
一、从故意伤害罪的角度分析
构成要件：故意伤害罪要求行为人具有伤害他人的故意，并实施了伤害行为，且该行为达到了犯罪程度（即造成轻伤以上后果）。若您被人打伤后，出于报复或伤害的目的，拿刀追逐对方，即使未追上，也表明您具有伤害他人的故意。
未遂形态：由于您未实际追上并伤害对方，因此该行为可能构成故意伤害罪的未遂。根据《刑法》的规定，对于未遂犯，可以比照既遂犯从轻或者减轻处罚。但需注意，若您的行为尚未达到犯罪程度（如未造成任何伤害后果），则可能不构成犯罪，而是属于治安管理处罚的范畴。
二、从寻衅滋事罪的角度分析
构成要件：寻衅滋事罪是指肆意挑衅，随意殴打、骚扰他人或任意损毁、占用公私财物，或者在公共场所起哄闹事，严重破坏社会秩序的行为。若您拿刀追逐对方的行为，在公共场所进行，且造成了社会秩序的混乱或恐慌，可能构成寻衅滋事罪。
情节认定：寻衅滋事罪的认定需考虑行为的情节严重性。若您的行为只是短暂的追逐，未造成实际后果，且情节轻微，则可能不构成犯罪。但若行为持续时间长、影响范围广，或伴随有其他恶劣情节（如辱骂、威胁等），则可能构成犯罪。
三、从非法携带管制器具的角度分析
管制器具的定义：根据相关法律法规，管制器具包括匕首、三棱刀、弹簧刀（跳刀）及其他相类似的单刃、双刃、三棱尖刀等。若您拿的刀属于管制器具范畴，则您的行为可能涉及非法携带管制器具的违法行为。
法律后果：非法携带管制器具进入公共场所或者公共交通工具的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。若您的行为同时构成其他犯罪的，则依法追究刑事责任。
四、综合建议
立即报警：若您被人打伤后拿刀追逐对方，无论是否追上，都应立即报警，由公安机关进行调查处理。这有助于保护您的合法权益，同时避免您因不当行为而承担法律责任。
配合调查：在公安机关调查过程中，您应如实陈述事实，提供相关证据，配合公安机关的工作。这有助于公安机关准确认定事实，依法作出处理。
咨询专业律师：若您对公安机关的处理结果有异议，或担心自己的行为可能构成犯罪，建议咨询专业律师。律师可以根据您的具体情况，为您提供专业的法律意见和帮助。
最后，被人打伤后拿刀追逐但没追上，这一行为是否构成犯罪需结合具体情境和法律规定来综合判断。若您面临类似情况，请务必保持冷静，立即报警，并咨询专业律师以获取法律帮助。