卖淫被抓对子女的影响主要取决于拘留的性质以及后续的法律后果，以下是具体分析：
行政拘留情况
- 法律后果：若卖淫行为仅受到行政拘留，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第六十六条，卖淫、嫖娼的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处五千元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。这是一种行政处罚，并不构成犯罪，因此不会留下犯罪记录（即案底）。
- 对子女影响：在大多数情况下，行政拘留对子女的升学、就业等方面没有直接的、实质性的影响。子女可以正常参加公务员考试、当兵入伍等，这些活动通常不会因为直系亲属有卖淫的治安违法记录而受到直接的限制或歧视。但在特定情况下，如子女报考军事院校、某些司法类院校或准备从事国安、公安等部门工作，政治审查时可能会因家长有行政拘留记录而受到一定影响，不过这种影响通常不是决定性的。
刑事拘留并判刑情况
- 法律后果：若卖淫行为涉及刑事犯罪（如组织、强迫、引诱、容留、介绍卖淫等），并被判刑，将留下案底。根据相关法律规定，有犯罪记录的人在特定情况下会受到限制，如报考公务员或事业单位中特定岗位（如政法系统）可能受阻，征兵入伍政审可能不通过，以及在一些需要开具无犯罪记录证明的场合会遇到困难。
- 对子女影响：父母的刑事犯罪记录可能对子女的未来产生多方面影响。特别是在报考对政治条件有特别要求的单位或职位时，如军事院校、警察院校、机要岗位、国家安全部门等，政审时可能会更加严格细致，直系亲属的犯罪记录可能成为考察因素之一，增加审查的复杂性和不确定性，甚至可能导致政审不通过。
综合建议：
- 遵守法律法规：作为父母，应自觉遵守法律法规，远离任何违法行为，以避免对子女造成不必要的负面影响。
- 提前了解政审要求：对于子女而言，在选择职业和报考学校时，应提前了解相关政审要求，做好充分准备。例如，如果子女有报考军校、警校或特殊岗位公务员的打算，应提前了解这些岗位对家庭成员违法记录的具体要求。
- 关注子女成长环境：父母的行为往往对子女产生深远影响。除了法律层面的影响外，父母还应关注子女的成长环境和心理状态，确保他们健康、快乐地成长。
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