结论前置：开车路上撞到狗狗后直接离开现场，是否构成肇事逃逸，需根据具体情况判断。若狗有主人且司机明知撞伤却逃离现场，则通常会被认定为肇事逃逸；若狗无主人或司机确实未意识到碰撞且后续积极配合处理，则一般不被视为肇事逃逸。以下是对此问题的详细分析：
一、肇事逃逸的定义与性质
“交通肇事逃逸”是指发生道路交通事故后，当事人为逃避法律责任，驾驶或者遗弃车辆逃离道路交通事故现场以及潜逃藏匿的行为。这种行为不仅违反了交通法规，还可能构成对他人财产或人身权益的侵害。
二、撞伤有主狗的情况
法律性质：如果撞伤的狗是有主人的，那么该狗在法律上可视为其主人的财物。撞伤狗即造成了他人财产的损失，符合交通事故中“因过错或者意外造成人身伤亡或者财产损失的事件”的定义。
肇事逃逸的认定：在此情况下，如果司机明知撞伤了有主的狗却选择直接离开现场，逃避承担相应责任，那么这种行为通常会被认定为肇事逃逸。根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，可以并处十五日以下拘留。若造成严重后果，还可能面临吊销机动车驾驶证，甚至终生不得重新取得机动车驾驶证的严厉处罚。
三、不构成肇事逃逸的情况
狗无主人：如果撞伤的是流浪狗，由于不存在明确的财产所有者，因此不构成对他人财产权益的侵害，这种情况一般不构成肇事逃逸。但司机仍应尽量确保现场安全，避免对其他行人或车辆造成二次伤害。
司机未意识到碰撞：如果事故发生时，司机确实没有意识到撞到了狗（如狗突然蹿出，碰撞轻微），且在主观上不知道发生了碰撞，之后继续驾车离开，通常也不会被认定为肇事逃逸。但司机需要有合理的理由和证据来证明自己确实不知情，如行车记录仪记录、现场目击者证言等。
四、实际执法中的考量
配合态度与赔偿：在实际执法中，如果司机在撞了狗之后确实没意识到，且没有造成其他严重后果，同时在交警调查时能积极配合，并主动给予狗主人合理赔偿，那么一般也不会按肇事逃逸来处理。但司机仍需承担相应的民事赔偿责任，赔偿狗主人的经济损失。
明知故犯的后果：但如果司机明知撞了狗却故意驾车离去，那么性质就变成了交通肇事逃逸。根据造成的后果，驾驶员可能要承担民事赔偿责任、接受行政处罚，甚至可能面临刑事责任（如造成重大财产损失或人员伤亡时）。
五、建议与注意事项
保持警惕与谨慎驾驶：司机在行驶过程中应时刻保持警惕，注意观察路况和周围环境，避免发生碰撞事故。
发生事故后积极处理：如果发生碰撞事故，无论是否造成人员伤亡或财产损失，司机都应立即停车查看情况，保护现场，并报警等待交警到场处理。如果碰撞的是宠物犬等财物，还应与宠物主人协商处理赔偿事宜。
咨询专业律师：在处理此类事故时，如果司机对法律责任或赔偿事宜存在疑问或争议，建议及时咨询专业律师以获取准确的法律建议和帮助。不过，作为张永明律师，我随时准备为你提供专业的法律咨询和服务，你可以直接向我提问。
综上所述，开车撞伤狗后是否算肇事逃逸需结合具体情况来判断。司机应时刻保持警惕，遵守交通规则，确保行车安全，并在发生事故时积极履行自己的法律义务。