结论前置：街道工作人员未经业主同意，一般不可以进入业主的家。但在特定紧急情况下，如发生火灾、漏水等可能危及公共安全或他人重大利益的情形，街道工作人员可能有权进入。
详细分析：
一般原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，业主对其住宅享有占有、使用、收益和处分的权利，即业主的住宅是其私人空间，受到法律的保护。
- 未经业主同意，任何单位或个人不得擅自进入业主的住宅。这是尊重和保护公民隐私权、住宅安宁权的基本体现。
例外情况：
- 紧急情况：在发生火灾、漏水、燃气泄漏等可能危及公共安全或他人重大利益的紧急情况下，街道工作人员或相关救援人员可能有权未经业主同意进入住宅，以进行紧急救援或防止损害扩大。这种情况下，进入行为是基于公共利益和紧急避险的考虑。
- 法律授权：如果街道工作人员依据法律、法规的明确授权，如执行法院判决、查封、扣押等法律程序，也可能在特定条件下进入业主住宅。但这种情况通常需要严格的法律程序和授权文件。
法律后果：
- 如果街道工作人员未经业主同意擅自进入住宅，且不存在上述例外情况，那么这种行为可能构成侵权，业主有权要求街道工作人员停止侵害、排除妨碍、赔偿损失等。
- 在极端情况下，如果街道工作人员的行为严重侵犯了业主的合法权益，业主还可以考虑通过法律途径追究相关责任人的法律责任。
建议与行动：
- 如果业主发现街道工作人员未经同意擅自进入其住宅，首先应保持冷静，询问对方进入的原因和依据。
- 如果对方无法提供合理的解释或法律依据，业主有权要求对方立即离开，并可以记录下对方的信息（如姓名、工作单位、联系方式等）以便后续维权。
- 如果业主认为自己的合法权益受到了侵害，可以向相关部门（如街道办事处、上级政府、公安机关等）投诉或举报，也可以考虑通过法律途径维护自己的权益。
总结：街道工作人员未经业主同意一般不可以进入业主的家，但在特定紧急情况下或法律授权的情况下可能有权进入。业主应了解自己的权利并学会维护自己的合法权益。如果您在房产纠纷方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。