当遇到他人欠款5000元不还的情况，您是可以申请法院执行来维护自身权益的。以下是对此问题的详细解答：
一、申请执行的前提条件
要申请法院执行，首先需要确保您已经取得了生效的法律文书。这通常指的是经过法院判决并生效的借条、欠条或其他相关债权凭证。只有拥有了这样的法律文书，您才能向法院提出强制执行的申请。
二、申请执行的流程
准备材料：您需要准备好强制执行申请书、生效的法律文书以及其他可能需要的证明材料，如身份证明、债务人的财产线索等。
提交申请：将准备好的材料提交给有管辖权的法院。通常，这会是做出原生效判决的法院。
法院受理与审查：法院在收到您的申请后，会进行受理和审查。如果认为您的申请符合法律规定，法院将会启动执行程序。
执行措施：在执行程序中，法院会运用多种手段查找债务人的财产线索，包括但不限于查询银行账户、查封财产、扣押物品以及拍卖、变卖财产等。一旦发现债务人有可供执行的财产，法院会立即采取相应措施进行执行。
三、需要注意的事项
申请执行期限：申请执行是有期限限制的，通常为两年。这意味着在生效法律文书确定的履行期限届满之日起两年内，您需要向法院提出强制执行的申请。否则，您可能会丧失申请执行的权利。
执行风险：虽然法院会尽力查找债务人的财产并执行，但仍然存在执行不到财产的风险。例如，债务人可能确实没有财产可供执行，或者其财产已经被其他债权人先行查封、扣押等。在这种情况下，法院可能会裁定终结本次执行程序。不过，当您日后发现债务人有可供执行的财产时，仍然可以再次申请恢复执行。
综上所述，当遇到他人欠款5000元不还的情况时，您可以申请法院执行来维护自身权益。但请务必确保您已经取得了生效的法律文书，并严格按照法律规定的程序进行申请和执行。