继子赡养老人是否享有遗产继承权，需分情况讨论：

1. 法定继承情形下，形成赡养关系的继子享有继承权

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产的第一顺序继承人包括配偶、子女、父母，其中“子女”包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。这意味着，如果继子与继父母之间形成了实际的赡养关系，即继子对继父母尽到了赡养义务，如长期照料他们的生活起居、支付医疗费用等，那么继子就依法享有对继父母遗产的继承权，并且属于第一顺序继承人。

然而，值得注意的是，即使继子与继父母存在赡养关系，也并不意味着其必然能够继承全部遗产。因为根据《中华人民共和国民法典》第一千一百三十条的规定，有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时，应当不分或者少分。所以，如果继子有扶养能力和条件，却未尽到扶养义务，那么在分配遗产时，法律会规定应当适当少分给他们。相反，如果继子尽了主要赡养义务，那么在分配遗产时，他们有可能会得到更多的份额。

1. 遗嘱继承情形下，继子的继承权受遗嘱内容影响

遗嘱继承是优先于法定继承的。也就是说，如果继父母在生前立有遗嘱，并且遗嘱中指定了继承人，那么遗产的分配将按照遗嘱进行。如果遗嘱中没有指定继子女为继承人，那么继子女将不直接通过遗嘱获得继承权。例如，继父母可能通过遗嘱将遗产全部留给亲生子女或其他指定的继承人，此时，即使继子女与继父母存在赡养关系，也无法依据遗嘱继承遗产。

法律建议：

• 对于继子女而言：履行赡养义务不仅是道德要求，也是法律规定的义务。这不仅能维护家庭和谐，还能在遗产分配时保障自己的权益。如果继子女与继父母之间形成了赡养关系，建议保留好相关证据，如生活照料、经济支持等方面的记录，以便在需要时证明自己的继承权。
• 对于继父母而言：如果希望确保自己的遗产按照特定方式分配，可以考虑订立遗嘱或遗赠扶养协议等法律文书。在订立遗嘱时，应明确继承人的范围和遗产分配的方案，以避免未来可能出现的家庭纠纷。

可能后果：

• 如果继子女未履行赡养义务，且继父母未立遗嘱或遗嘱中未指定继子女为继承人，那么继子女可能无法继承继父母的遗产。
• 如果继子女与继父母之间形成了赡养关系，但继父母立有遗嘱排除了继子女的继承权，那么继子女也无法依据遗嘱继承遗产。不过，如果继子女对继父母尽了主要赡养义务，且遗嘱未留足必要份额给继子女，继子女仍有可能根据法律规定获得一定份额的遗产。

综上所述，继子赡养老人是否享有遗产继承权，需根据具体情况而定。在处理涉及继承权的法律问题时，建议直接向我咨询，以便获取更准确的法律意见和指导。