在监理单位签订完监理合同后，需要办理一系列的备案手续以确保合同的合法性和有效性。以下是根据重庆市城乡建设委员会的相关规定，详细解答您需要办理的监理合同备案手续：

一、备案范围与要求

在本市行政区域内，依法必须实行监理的房屋建筑工程和市政基础设施工程，均应进行监理合同备案。这是为了加强建设工程监理行业管理，进一步规范监理市场行为。

二、备案管理平台

监理合同备案工作通过全市统一的“重庆市建设工程招标投标系统”进行管理。这一平台确保了备案流程的规范化和信息化。

三、备案责任主体

1. 市城乡建委：负责全市监理合同备案的监督管理，并直接负责市管项目的监理合同备案工作。具体工作委托重庆市建设工程招标投标办公室负责实施。
2. 区县（自治县）城乡建设主管部门：负责辖区内区管项目的监理合同备案工作。

四、备案所需资料

工程监理企业在监理合同正式签订之日起15日内，需到具有工程管理权限的城乡建设主管部门办理监理合同备案手续，并提交以下资料：

1. 《重庆市建设工程监理合同备案申请表》（一式五份）。
2. 监理合同原件。
3. 工程监理企业资质证书副本。市外工程监理企业还需提供《市外工程监理企业入渝备案登记证》（验原件，收复印件）。
4. 总监理工程师的身份证明、任命文件、职称证书。若总监理工程师兼任多个项目，需提供建设单位同意总监兼任的书面材料（验原件，收复印件）。

五、备案流程与时间

1. 提交申请：工程监理企业携带上述资料到具有工程管理权限的城乡建设主管部门提交备案申请。
2. 资料审查：城乡建设主管部门对提交的资料进行审查，对资料不齐全或不符合法定形式的，应当场一次性告知需补正的全部内容。
3. 备案决定：对资料齐全且符合法定形式的，城乡建设主管部门应在收到申请之日起5个工作日内作出是否备案的决定。

六、变更备案

若监理合同备案后，合同约定的监理工作范围、监理服务期限、监理费等重要内容，以及总监理工程师、项目监理机构人员发生变更的，工程监理企业应当在变更后15日内，向原备案部门办理监理合同变更备案，并根据实际情况提交符合变更条件的证明材料。

七、未备案的后果

对未及时办理监理合同备案或变更备案的，具有工程管理权限的城乡建设主管部门将依法进行严肃处理。

综上所述，监理单位在签订完监理合同后，应严格按照上述流程和要求办理备案手续，以确保合同的合法性和有效性，并避免不必要的法律风险。希望这些信息能对您有所帮助。