结论：网赌提现一千，公安是否可以跨市抓人，这并非一个简单的“是”或“否”的问题，而是需要综合考虑多种因素，包括案件的性质、情节严重程度、公安的侦查权限以及跨区域协作机制等。
分析如下：
案件性质与情节严重程度：
- 网络赌博本身是一种违法行为，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，以营利为目的，聚众赌博或者以赌博为业的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金。对于参与网络赌博并提现的行为，如果涉及金额较大或者情节严重，可能构成赌博罪或者开设赌场罪的共犯。
- 在您提到的案例中，虽然提现金额为一千元，看似不大，但如果这一行为是多次发生、涉及多人或者存在其他严重情节，如组织、策划、指挥赌博活动等，那么案件的性质和情节严重程度就会显著提升，公安部门对此类案件的打击力度也会相应增大。
公安的侦查权限：
- 公安部门在侦查刑事案件时，拥有广泛的权限，包括调查取证、传唤、拘传、拘留、逮捕等。对于涉嫌犯罪的嫌疑人，公安部门有权在其管辖范围内进行侦查活动。
- 如果案件涉及跨区域犯罪，公安部门之间会建立协作机制，通过信息共享、联合侦查等方式，共同打击犯罪。因此，即使您所在的地区与案件发生地不在同一城市，公安部门也有可能根据案件需要，跨市进行侦查活动。
跨区域协作机制：
- 在打击跨区域犯罪方面，我国公安部门已经建立了较为完善的协作机制。不同地区的公安部门可以通过电话、传真、网络等方式进行信息共享和沟通协作。
- 对于需要跨市抓人的情况，公安部门通常会提前与当地公安部门进行沟通协调，确保抓捕行动的顺利进行。同时，也会遵循相关的法律程序和规定，确保嫌疑人的合法权益得到保障。
法律建议：
- 如果您或者您身边的人涉及网络赌博行为，无论金额大小，都应当立即停止并认识到其违法性。网络赌博不仅可能导致个人财产的损失，还可能引发一系列法律后果。
- 如果您已经因为网络赌博行为被公安部门调查或者传唤，应当积极配合调查工作，如实陈述事实情况，并寻求专业律师的帮助以维护自己的合法权益。
- 对于公安部门是否可以跨市抓人的问题，这并非由个人决定，而是由案件的性质、情节严重程度以及公安部门的侦查权限和跨区域协作机制等多种因素共同决定的。因此，无法给出一个绝对的答案。
可能后果：
- 如果您的网络赌博行为构成犯罪，且情节严重，那么您可能面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役、管制以及罚金等。
- 即使您的行为不构成犯罪或者情节较轻，也可能面临行政处罚，如罚款、拘留等。同时，您的个人信用记录也可能受到影响，对未来的生活和工作产生不利影响。
总之，网络赌博是一种违法行为，无论金额大小都应当引起足够的重视。如果您有任何疑问或者需要法律帮助，请随时向我咨询。