大客车乘客不系安全带，公司一般无权直接罚驾驶员，但驾驶员可能因未履行提醒义务或未确保乘客系安全带而面临交通管理部门的处罚。以下从不同角度对此问题进行分析：
一、法律责任主体
乘客责任：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第五十一条，机动车行驶时，乘坐人员应当按规定使用安全带。这是乘客的法定义务，乘客未系安全带，首先违反的是这一法律规定。
- 依据该法第八十九条，乘客不系安全带可能面临警告或者五元以上五十元以下罚款的处罚。
驾驶员责任：
- 驾驶员有义务在乘车前告知乘客系好安全带，并确保乘客未系安全带时不驾驶车辆。这是驾驶员的法定职责，旨在保障乘客安全。
- 若后排乘客未系安全带，虽然违法行为是乘客做出的，但处罚时主要针对的是驾驶人员，因为驾驶员有责任确保乘客遵守安全规定。驾驶员可能因此面临警告、罚款，甚至扣分等处罚。
二、公司对驾驶员的处罚权
公司内部规定：
- 公司是否有权对驾驶员进行处罚，取决于公司内部的规章制度以及这些规章制度是否合法合规。如果公司规章制度中明确规定了驾驶员需确保乘客系安全带，且未履行此义务将受到公司处罚，那么公司有权依据内部规定对驾驶员进行处罚。
- 但这种处罚权并非基于法律直接赋予，而是基于公司与驾驶员之间的劳动合同关系以及公司内部的规章制度。因此，公司处罚的合法性和合理性需受到法律和劳动合同的约束。
法律限制：
- 公司在行使处罚权时，必须遵守国家法律法规，不得侵犯驾驶员的合法权益。例如，公司不得随意扣减驾驶员的工资或解除劳动合同，除非驾驶员的行为严重违反了公司规章制度或法律法规。
三、实际处理建议
驾驶员方面：
- 驾驶员应严格履行提醒乘客系安全带的义务，并在确保乘客系好安全带后再驾驶车辆。这不仅是法律要求，也是保障乘客安全的重要措施。
- 若因乘客未系安全带而面临交通管理部门的处罚，驾驶员应积极配合处理，并可向公司说明情况，寻求公司的理解和支持。
公司方面：
- 公司应加强对驾驶员的安全教育和培训，提高驾驶员的安全意识和法律意识。
- 公司可制定合理的内部规章制度，明确驾驶员在确保乘客系安全带方面的职责和奖惩措施。但这些规章制度必须合法合规，不得侵犯驾驶员的合法权益。
- 若公司因乘客未系安全带而对驾驶员进行处罚，应确保处罚的合法性和合理性，并给予驾驶员充分的申诉机会。
乘客方面：
- 乘客应自觉遵守法律法规，系好安全带，保障自身安全。
- 若因未系安全带而面临处罚，乘客应积极配合处理，并认识到自己的错误行为。
总结与建议：大客车乘客不系安全带，公司一般无权直接罚驾驶员，但驾驶员可能因未履行提醒义务或未确保乘客系安全带而面临交通管理部门的处罚。为避免此类情况发生，驾驶员应严格履行提醒义务，公司应加强安全教育和培训，乘客应自觉遵守法律法规。若遇到相关问题或纠纷，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议。