妈妈捡到手机刷机后卖掉，这一行为是否构成犯罪并判刑，需根据具体情况来判断，但存在构成犯罪并判刑的可能性。以下从不同角度进行分析：
一、可能构成的罪名
盗窃罪：
- 法律背景：根据《中华人民共和国刑法》第二百六十四条，盗窃罪是指以非法占有为目的，盗窃公私财物数额较大或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃公私财物的行为。
- 分析：如果妈妈捡到手机后，明知手机是他人遗失物，却通过刷机等方式消除原机主的痕迹，并据为己有后出售，这种行为可能被视为以非法占有为目的，秘密窃取他人财物。若手机价值达到当地盗窃罪的立案标准（如数额较大，通常为一千元至三千元以上，具体标准因地区而异），则可能构成盗窃罪。
侵占罪：
- 法律背景：根据《中华人民共和国刑法》第二百七十条，侵占罪是指以非法占有为目的，将他人的交给自己保管的财物、遗忘物或者埋藏物非法占为己有，数额较大，拒不交还的行为。
- 分析：如果妈妈捡到手机后，本应归还给失主或交给相关部门，但却选择刷机后出售，且手机价值达到当地侵占罪的立案标准（通常数额较大，具体标准因地区而异），则可能构成侵占罪。不过，侵占罪通常要求行为人先合法持有他人财物，后非法占为己有，且拒不交还。在捡到手机的情况下，若妈妈未尝试归还或联系失主，直接出售，可能更倾向于被认定为盗窃罪而非侵占罪。
二、法律后果
若构成盗窃罪：
- 根据手机的价值和情节严重程度，妈妈可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金的刑罚。若手机价值巨大或有其他严重情节，刑罚可能更重。
若构成侵占罪：
- 妈妈可能面临二年以下有期徒刑、拘役或者罚金的刑罚。但需注意，侵占罪通常属于告诉才处理的犯罪，即除非失主向法院提起诉讼，否则司法机关不会主动介入。
三、建议与提醒
- 立即归还或联系失主：如果妈妈捡到手机后尚未出售，应立即归还给失主或联系相关部门（如警方）协助寻找失主。
- 主动投案自首：如果妈妈已经出售手机且意识到行为可能构成犯罪，应主动向公安机关投案自首，争取从轻或减轻处罚。
- 咨询专业律师：在处理此类问题时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
总之，妈妈捡到手机刷机后卖掉的行为存在构成犯罪并判刑的可能性。具体是否构成犯罪以及刑罚的轻重，需根据手机的价值、情节严重程度以及当地法律法规的具体规定来判断。因此，建议妈妈立即采取措施纠正错误行为，并咨询专业律师以获取法律帮助。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。