妻子作为银行贷款申请担保人，在借款人逾期后，妻子需要承担相应的担保责任，具体处理方式需根据担保类型和合同约定来确定。以下分情况详细说明：

1. 若妻子提供的是一般保证

   • 责任范围：一般保证的保证人在主合同纠纷未经审判或者仲裁，并就债务人财产依法强制执行仍不能履行债务前，对债权人可以拒绝承担保证责任。也就是说，在借款人逾期后，银行需先向借款人追偿，当借款人确实无法偿还债务，经过法律程序确认后，妻子才需承担还款责任。
   • 处理方式：银行会先通过法律途径向借款人追讨欠款，如申请法院强制执行借款人的财产。若执行后仍不足以清偿债务，银行会要求妻子承担剩余债务的偿还责任。妻子在承担责任后，有权向借款人进行追偿，要求借款人偿还妻子代为清偿的部分。

2. 若妻子提供的是连带责任保证

   • 责任范围：连带责任保证的债务人在主合同规定的债务履行期届满没有履行债务的，债权人可以要求债务人履行债务，也可以要求保证人在其保证范围内承担保证责任。这意味着，借款人逾期后，银行有权直接要求妻子承担全部或部分还款责任，无需先向借款人追偿。
   • 处理方式：银行可能会直接联系妻子，要求其偿还逾期贷款。妻子在接到银行通知后，应及时与银行沟通，了解具体的欠款金额和还款要求。如果妻子有能力偿还，应尽快还款，以避免产生更多的逾期利息和不良信用记录。若妻子暂时无力偿还，可以与银行协商制定还款计划，如分期还款等。同样，妻子在承担保证责任后，也有权向借款人追偿。

3. 若妻子与银行签订的担保合同中有特殊约定

   • 责任范围：有些担保合同可能会对保证人的责任范围、承担责任的方式等进行特殊约定。例如，约定保证人只在特定情况下承担责任，或者承担部分责任等。此时，妻子的责任需按照合同约定来确定。
   • 处理方式：妻子应仔细查看担保合同的条款，了解自己的具体责任。如果合同中有特殊约定，妻子需按照约定履行责任。若对合同条款有疑问或认为约定不合理，可以与银行协商解决，或者通过法律途径维护自己的合法权益。

建议：妻子在作为担保人签订合同前，应充分了解担保的类型、责任范围以及可能面临的风险。在借款人逾期后，及时与银行沟通，了解具体情况，并根据自身情况采取合适的处理方式。如果遇到复杂的法律问题或与银行协商无果，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议和帮助。