公司开除员工，即解除与员工的劳动合同，是一个需要严格遵循法律程序的过程。以下是根据相关法律法规，公司开除员工应履行的详细程序：
一、合法解除劳动合同的情形
首先，公司必须确保解除劳动合同的事由合法。这通常包括员工严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形。在本案中，如公司以员工严重违反劳动纪律为由解除劳动合同，必须确保有相应的事实证实，如员工在岗期间公司物件丢失，且该丢失与员工行为有直接关联，并需公司提供相应证据。
二、公司规章制度合法性
公司制定的规章制度内容必须合法、程序民主，并且事后进行了公示。这意味着规章制度不能违反法律法规的强制性规定，且在制定过程中应征求员工或工会的意见，确保员工的知情权和参与权。
三、履行通知工会义务
即使公司有权解除劳动合同，也应当事先通知所在公司工会组织。工会作为员工的代表，有权对公司的决策提出意见和建议，并保障员工的合法权益。未履行通知工会义务的，可能被认定为违法解除。
四、具体解除程序
提前说明情况：公司应提前三十日向工会或者全体职工说明情况，并提供有关生产经营状况的资料（如经济性裁员时）。
提出裁减（解除）方案：方案内容包括被裁减（解除）人员名单、裁减（解除）时间及实施步骤，以及符合法律、法规规定和集体合同约定的经济补偿办法。
征求意见并修改完善：将裁减（解除）人员方案征求工会或者全体职工的意见，并根据反馈对方案进行修改和完善。
报告劳动行政部门：向当地劳动行政部门报告裁减（解除）人员方案以及工会或者全体职工的意见，并听取劳动行政部门的意见。
正式公布并办理解除手续：由公司正式公布裁减（解除）人员方案，与被裁减（解除）人员办理解除劳动合同手续，按照有关规定支付经济补偿金，并出具解除劳动合同证明书。
五、特殊保护情形
公司不得裁减或解除与下列人员的劳动合同：患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的；患病或者负伤，在规定的医疗期内的；女职工在孕期、产期、哺乳期内的；以及法律、行政法规规定的其他情形。
六、后续义务
公司从裁减（解除）人员之日起，六个月内需要新招人员的，必须优先从本单位裁减（解除）的人员中录用，并向当地劳动行政部门报告录用人员的数量、时间、条件以及优先录用人员的情况。
七、违法解除的后果
如公司违反法律、法规规定和集体合同约定裁减（解除）人员的，工会有权要求重新处理，且公司可能需承担因此产生的经济损失赔偿责任。
综上所述，公司开除员工是一个复杂且需严格遵循法律程序的过程。公司应确保解除事由合法、规章制度合法、履行通知工会义务，并按照规定的程序进行操作，以避免法律风险和纠纷。