若在申请追加股东的过程中该股东死亡，可依据不同情况，通过申请变更诉讼主体或追加其继承人为当事人来继续推进相关程序，具体如下：

1. 股东死亡后，公司存续且股东资格可继承的情况
   • 根据《公司法》第七十五条，自然人股东死亡后，其合法继承人可以继承股东资格；但是，公司章程另有规定的除外。若公司章程未禁止股东资格继承，在申请追加股东时原股东死亡，可将其合法继承人追加为当事人。
   • 继承人继承股东资格后，便承继了原股东在公司中的权利和义务。此时，需要向法院提供该股东死亡证明、继承关系证明（如公证书等）等材料，申请将原股东变更为其继承人继续参与诉讼或相关程序。例如，在股东损害公司债权人利益责任纠纷案件中，原股东被追加为被告后死亡，其继承人继承股东资格的，债权人可申请将继承人追加为被告，要求其在继承遗产范围内承担相应责任。
2. 股东死亡后，公司存续但股东资格不可继承或无人继承的情况
   • 若公司章程规定股东资格不得继承，或者原股东没有合法继承人，或者继承人放弃继承股东资格，那么原股东的股东身份在公司中将终止。在这种情况下，若原股东生前存在应承担的责任，如未履行出资义务等，可能需要从其遗产中来追究相关责任。
   • 此时，可向法院申请将原股东的遗产管理人或相关利害关系人追加为当事人。遗产管理人负责处理被继承人的债权债务，通过追加遗产管理人，可以在其管理的遗产范围内主张权利。例如，原股东未全面履行出资义务，公司债权人申请追加该股东为被执行人时股东死亡，若其股东资格不能继承且无继承人，可追加遗产管理人为被执行人，在遗产范围内要求其履行出资义务。
3. 股东死亡导致公司解散清算的情况
   • 如果该股东的死亡导致公司股东人数不符合法律规定的最低限额（如有限责任公司股东死亡后，剩余股东人数不足两人），或者公司章程规定股东死亡公司解散等情形，公司可能进入解散清算程序。
   • 在公司解散清算过程中，若原股东存在未了结的债务或责任，清算组在清理公司财产、编制资产负债表和财产清单后，发现公司财产不足清偿债务的，可依法向法院申请追加原股东的相关责任主体（如继承人、遗产管理人等）参与清算程序，以保障债权人的合法权益。例如，公司因股东死亡解散清算，清算时发现原股东存在抽逃出资行为，清算组可申请追加其继承人或遗产管理人在抽逃出资范围内对公司债务承担责任。

在处理此类问题时，情况往往较为复杂，涉及的法律关系和证据收集等方面都需要谨慎对待。如果你有进一步的疑问或需要具体的法律帮助，可以直接向我咨询。