当您未与用人单位签订劳动合同却被开除时，您完全有权通过申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。以下是一个详细且清晰的步骤指南，帮助您了解如何进行劳动仲裁申请：

一、明确法律依据与权益

首先，您需要了解相关的法律依据。根据《中华人民共和国劳动合同法》和《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》，未签订劳动合同但存在事实劳动关系的劳动者，在遭受用人单位违法解除时，有权申请劳动仲裁，并可能获得双倍工资差额、经济赔偿金以及补缴社会保险等补偿。

二、收集关键证据

在申请劳动仲裁前，您需要收集以下关键证据来证明与用人单位存在事实劳动关系及被开除的事实：

1. 工作记录：如考勤表、工资条、工作证、服务证、同事证言等，这些都能证明您在用人单位的工作时间和工作内容。
2. 沟通记录：包括与用人单位负责人的聊天记录、通话录音等，特别是涉及辞退决定的对话内容，这是证明您被开除的直接证据。
3. 其他相关证据：如招聘登记表、报名表、入职通知书、工作分配单等，这些文件可能包含用人单位对您的用工信息和管理痕迹。

三、准备仲裁申请材料

接下来，您需要准备以下仲裁申请材料：

1. 劳动仲裁申请书：详细写明您的基本信息、用人单位的基本信息、仲裁请求事项（如要求支付双倍工资差额、经济赔偿金等）和事实理由。
2. 证据清单及相关证据材料：按照上述收集的证据进行整理，并制作一份清晰的证据清单。
3. 身份证明：提供您的身份证复印件或其他有效身份证明。
4. 送达地址确认书：提供准确的送达地址，以便仲裁委员会及时送达相关法律文书。

四、提交仲裁申请

1. 确定管辖机构：劳动争议由劳动合同履行地或者用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会管辖。您可以选择其中一个机构提交申请。
2. 提交申请材料：将准备好的仲裁申请材料提交给选定的劳动争议仲裁委员会。仲裁委员会在收到申请后，会进行审查，并在五日内决定是否受理。

五、参与仲裁程序

1. 出庭应诉：如果仲裁委员会决定受理您的申请，会安排开庭时间。您应按照通知书上的时间和地点准时出庭应诉。
2. 陈述事实和理由：在庭审过程中，您应充分陈述自己的事实和理由，并提供相关证据支持自己的主张。
3. 进行辩论和质证：针对用人单位的辩解和反驳，您可以进行辩论和质证，以维护自己的权益。

六、等待仲裁裁决与执行

1. 作出裁决：仲裁庭会根据双方提供的证据和陈述，依法作出裁决。裁决结果可能包括确认劳动关系、要求用人单位支付未签订劳动合同的二倍工资差额、经济赔偿金等。
2. 执行裁决：如果用人单位不履行裁决结果，您可以在规定时间内向人民法院申请强制执行。

七、注意事项

1. 时效问题：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从您知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，请务必及时行使自己的权利。
2. 法律咨询：在申请劳动仲裁前，建议您咨询专业律师或法律援助机构，以获取更具体的法律建议和帮助。

通过以上步骤，您可以有效地申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。希望这个指南能对您有所帮助。如果您在申请过程中遇到任何问题或需要进一步的帮助，请随时咨询专业律师或法律援助机构。