结论：叔公没有直系亲属，侄子有赡养协议公证书的情况下，侄子能否继承叔公的遗产，需根据具体情况判断，主要存在以下几种可能性。

1. 遗赠扶养协议

   • 法律解释：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人可以与继承人以外的组织或者个人签订遗赠扶养协议。按照协议，该组织或者个人承担该自然人生养死葬的义务，享有受遗赠的权利。
   • 具体分析：如果侄子与叔公签订了遗赠扶养协议，并且侄子按照协议承担了叔公的生养死葬义务，那么在叔公去世后，侄子可以根据协议取得遗产。赡养协议公证书可以作为证明遗赠扶养协议存在及内容的有效证据。

2. 遗嘱继承或遗赠

   • 法律解释：叔公如果生前立有合法有效的遗嘱，并明确表示将自己的全部或部分遗产留给侄子，那么侄子可以依据遗嘱继承遗产。另外，如果叔公通过遗赠的方式将财产赠与侄子，并且侄子在知道受遗赠后六十日内作出了接受遗赠的表示，那么侄子也能获得相应的遗产。
   • 具体分析：在此情况下，即使没有赡养协议公证书，只要遗嘱或遗赠合法有效，侄子仍有可能继承叔公的遗产。但赡养协议公证书的存在可能进一步证明侄子对叔公的关心和照顾，有助于侄子主张自己的权利。

3. 法定继承的特殊情况（代位继承不适用）

   • 法律解释：在法定继承中，侄子并不直接属于法定继承人的范围。法定继承人的第一顺序包括配偶、子女、父母；第二顺序则包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。在没有第一顺序继承人继承的情况下，才会由第二顺序继承人继承。侄子并不在法定继承人之列，因此一般情况下不能通过法定继承获得叔公的遗产。
   • 具体分析：由于叔公没有直系亲属，且侄子不属于法定继承人范围，因此代位继承（即侄子的父母先于叔公死亡，侄子代位继承其父母原本有权继承的遗产份额）在此情况下不适用。

综合建议：

• 如果侄子与叔公签订了遗赠扶养协议，并且侄子已经按照协议承担了叔公的生养死葬义务，那么侄子可以根据协议取得遗产。
• 如果叔公生前立有合法有效的遗嘱或遗赠，明确表示将遗产留给侄子，并且侄子在知道受遗赠后六十日内作出了接受遗赠的表示，那么侄子也能获得相应的遗产。
• 如果既没有遗赠扶养协议，也没有遗嘱或遗赠，那么侄子一般不能通过法定继承获得叔公的遗产。但在此情况下，如果侄子对叔公尽了主要的扶养义务，虽然不能直接继承遗产，但可以根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，在分配遗产时予以适当考虑。

后续行动建议：

• 侄子应仔细审查与叔公签订的赡养协议公证书，确认协议内容是否明确、合法有效。
• 如果叔公生前可能立有遗嘱或遗赠，侄子应尽快查找相关证据，如遗嘱原件、见证人证言等。
• 如果侄子对叔公尽了主要的扶养义务，应收集相关证据，如医疗记录、生活照料记录等，以备在遗产分配时主张自己的权利。

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