结论：员工给公司遗失重要客户，公司能否开除该员工，需根据具体情况判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、从劳动合同和公司规章制度的角度
劳动合同约定：
- 如果劳动合同中明确规定了员工因故意或重大过失导致公司损失（包括遗失重要客户）时，公司有权解除劳动合同，那么公司可以依据合同约定开除该员工。
公司规章制度：
- 公司规章制度中若明确规定了员工遗失重要客户属于严重违反公司规章制度的行为，且该规章制度已经过民主程序制定并公示，员工已知悉并同意，那么公司也可以依据规章制度开除该员工。
二、从员工行为性质和后果的角度
故意行为：
- 如果员工是故意遗失重要客户，例如为了个人利益或报复公司而故意泄露客户信息或拒绝与客户合作，导致客户流失，那么这种行为属于严重违反职业道德和公司利益的行为，公司有权开除该员工。
重大过失行为：
- 如果员工因重大过失导致遗失重要客户，例如因疏忽大意未妥善保管客户资料或未及时跟进客户需求，导致客户转向竞争对手，那么公司是否可以开除该员工，需根据具体情况判断。一般来说，如果这种过失行为对公司造成了重大损失，且员工无法弥补或拒绝弥补，公司有权考虑开除。但在此之前，公司应先与员工进行沟通，了解原因，并尝试通过培训、调整岗位等方式帮助员工改进。
一般过失行为：
- 如果员工只是因一般过失导致遗失重要客户，例如因工作繁忙而暂时忽略了某个客户的需求，但并未造成严重后果，那么公司通常不应直接开除该员工。相反，公司应通过加强培训、优化工作流程等方式提高员工的工作效率和责任心，以避免类似情况再次发生。
三、从法律程序和证据的角度
法律程序：
- 公司在决定开除员工前，应确保已经按照法律程序进行了调查和取证，确认员工确实存在故意或重大过失行为，并造成了公司损失。同时，公司应提前通知员工解除劳动合同的事由和依据，并听取员工的陈述和申辩。
证据充分性：
- 公司应确保有充分的证据证明员工遗失重要客户的行为与公司的损失之间存在因果关系，以及员工的行为确实属于故意或重大过失。如果证据不足或存在争议，公司可能面临违法解除劳动合同的风险。
四、建议
- 对于公司：在决定开除员工前，应全面评估员工的行为性质、后果以及公司的规章制度和劳动合同约定。同时，应确保法律程序合规、证据充分，以避免违法解除劳动合同的风险。
- 对于员工：如果因工作疏忽导致遗失重要客户，应积极与公司沟通，说明情况并寻求解决方案。如果公司决定开除，员工可以要求公司出具书面解除劳动合同通知书，并了解解除劳动合同的法律依据和事实依据。如有异议，员工可以通过劳动仲裁等法律途径维护自己的合法权益。
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