针对15岁和13岁孩子吵架后打架的问题，首先需要明确的是，由于双方均为未成年人，处理方式需充分考虑其年龄特点和法律保护原则。以下是从不同角度给出的分析和建议：
法律责任角度：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，未成年人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。这意味着，如果打架行为导致了一方或双方受伤，受伤方的监护人有权要求对方监护人承担相应的民事赔偿责任，包括医疗费、护理费等合理费用。
- 同时，如果打架行为情节严重，如造成轻伤以上后果，可能涉及《中华人民共和国刑法》中的故意伤害罪。但考虑到双方年龄，15岁和13岁的孩子通常不具备完全的刑事责任能力，因此一般不会直接追究刑事责任，而是可能由公安机关进行训诫、责令家长严加管教等处理。
处理方式角度：
- 家长介入：双方家长应首先保持冷静，了解事情经过，避免情绪化处理。家长应引导孩子认识错误，鼓励他们向对方道歉，并协商赔偿事宜（如有需要）。
- 学校或社区调解：如果家长自行处理困难，可以寻求学校或社区的帮助，通过调解的方式解决纠纷。调解过程中，应注重保护未成年人的隐私和尊严，避免公开批评或指责。
- 报警处理：如果打架行为严重，如造成严重伤害或涉及其他违法行为，家长应立即报警，由公安机关依法处理。
预防与教育角度：
- 加强法治教育：家长和学校应加强对未成年人的法治教育，让他们了解法律的基本原则和规定，明白自己的行为可能带来的法律后果。
- 培养冲突解决能力：教育孩子学会以和平、理性的方式解决冲突，避免使用暴力或威胁手段。可以通过角色扮演、讨论案例等方式，提高孩子的冲突解决能力。
- 关注心理健康：家长和学校应关注孩子的心理健康状况，及时发现并干预可能存在的心理问题或行为偏差，防止问题恶化。
针对此情况，建议家长和学校采取以下具体措施：
- 立即了解事情经过，确认双方受伤情况，如有需要立即送医治疗。
- 引导孩子认识错误，鼓励他们向对方道歉，并协商赔偿事宜（如有需要）。
- 如果自行处理困难，可以寻求学校或社区的调解帮助。
- 加强法治教育和冲突解决能力的培养，预防类似事件再次发生。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供有针对性的法律建议。