您可先报警并固定证据，后续通过协商或诉讼要求车主承担相应赔偿责任。具体处理方式如下：

一、固定证据

1. 现场证据：若狗受伤后仍在现场，应立即拍摄现场照片、视频，记录车辆撞击狗的具体位置、狗的受伤情况、周边环境等。同时，注意保留现场可能存在的车辆碎片、狗的毛发等物证。
2. 车主信息：既然已经查到了车牌，应记录下车牌号码、车辆型号、颜色等信息，并确认车主的身份信息，可通过交警部门查询车主的联系方式、住址等。
3. 医疗证据：尽快将狗送往宠物医院进行治疗，并保留好所有的医疗记录、诊断证明、费用清单等，这些将作为后续索赔的重要依据。

二、报警处理

1. 及时报警：立即向当地公安机关报案，说明狗被车撞且车主未停车的情况。警方会介入调查，并根据情况出具事故认定书或相关证明文件。
2. 配合调查：积极配合警方的调查工作，提供所掌握的证据和信息，协助警方查明事实真相。

三、协商赔偿

1. 联系车主：在获取车主信息后，尝试与车主进行联系，说明情况并提出赔偿要求。赔偿范围通常包括狗的治疗费用、因狗受伤导致的其他直接经济损失（如因照顾狗而产生的误工费等）。
2. 协商过程：在协商过程中，保持冷静和理性，以事实为依据，以法律为准绳，与车主进行友好沟通。若车主同意赔偿，应签订书面赔偿协议，明确赔偿金额、支付方式等条款。

四、诉讼途径

1. 起诉条件：若协商无果，或车主拒绝赔偿，您可以考虑向法院提起诉讼。起诉时，需准备充分的证据材料，包括现场证据、医疗证据、警方出具的事故认定书或相关证明文件等。
2. 诉讼流程：向法院提交起诉状及相关证据材料，法院受理后会安排开庭审理。在庭审过程中，您需陈述事实、提供证据，并阐述自己的诉讼请求。法院将根据事实和法律规定作出判决。
3. 执行判决：若法院判决车主承担赔偿责任，但车主拒不履行判决，您可以向法院申请强制执行，通过法律手段维护自己的合法权益。