老人家被对方老人家欺负后报警，可以争取以下权利：

1. 要求警方依法处理：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，对于殴打他人或者故意伤害他人身体的行为，警方有权根据情节轻重给予相应的行政处罚，如警告、罚款、拘留等。老人家可以要求警方对欺负自己的对方进行调查，并依法作出处理决定。
   • 若对方的行为构成犯罪，如故意伤害罪，警方将依法立案侦查，并移送检察机关审查起诉。老人家作为被害人，有权要求警方及时、公正地处理案件，保护自己的合法权益。

2. 要求赔偿损失：

   • 根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。老人家可以要求对方赔偿因欺负行为导致的医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。
   • 若欺负行为导致老人家精神受到严重损害，老人家还可以要求对方赔偿精神损害抚慰金。具体赔偿金额需根据实际情况和证据材料，由法院或调解机构进行裁决。

3. 要求道歉与恢复名誉：

   • 若欺负行为对老人家的名誉造成了损害，老人家可以要求对方公开道歉，以恢复自己的名誉。道歉的方式和范围可以根据实际情况和双方协商确定，如通过书面道歉、公开声明等方式进行。

4. 寻求法律援助与保护：

   • 在处理此类纠纷时，老人家若感到自己无法有效维护自己的权益，可以寻求法律援助。可以联系当地的法律援助机构或律师，获取专业的法律咨询和帮助。
   • 同时，老人家也可以向社区、居委会或相关组织反映情况，寻求他们的支持和帮助，共同维护自己的合法权益。

在处理此类纠纷时，老人家还需注意以下几点：

• 保留证据：及时收集并保留与欺负行为相关的证据，如现场照片、视频、证人证言、医疗记录等。这些证据将有助于警方调查取证和法院审理案件。
• 配合警方调查：积极配合警方的调查工作，如实陈述事实经过，提供相关证据材料。这有助于警方更快地查明事实真相，依法作出处理决定。
• 保持冷静与理性：在处理纠纷时，保持冷静与理性，避免情绪化行为。通过合法途径维护自己的权益，避免采取过激行为导致矛盾升级。

若老人家在处理此类纠纷时遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我将根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。