在系统内发生追索后，逾期偿还的当事人是否享有再追索权，需分情况讨论：

1. 若逾期偿还后，原债务关系已彻底消灭：

   • 在一般的债务债权关系中，一旦债务人履行了偿还义务，且该履行被债权人接受，原债务关系即告消灭。此时，若债务人逾期偿还，但最终完成了偿还，且没有其他特殊约定或法律规定，那么债务人通常不再享有对原债权人的再追索权。因为再追索权通常与票据法中的票据追索权相关联，而在一般的债务债权关系中，并不直接适用票据法的规定。

2. 若涉及票据法中的票据追索，且逾期偿还后存在特定情形：

   • 在票据法领域，票据追索权是指票据到期不获付款或期前不获承兑，或有其他法定原因时，持票人在依法行使了保全行为后，向其前手请求偿还票据金额、利息及其他法定款项的一种票据权利。若票据被拒绝承兑或付款后，持票人依法行使了追索权，并获得了部分或全部偿还，但在偿还过程中存在欺诈、胁迫等非法情形，或者偿还金额不足、偿还期限未到等特定情况，持票人（在此情境下可视为原债务关系中的“逾期偿还者”的对应方，但角色反转，即原债务人若成为新票据关系中的持票人）可能仍享有对前手的再追索权，但这需依据具体的票据法规定和案情来判断。不过，从原问题“逾期偿还是否享有再追索权”的表述出发，更侧重于原债务人偿还后的权利，在票据法严格意义上，原债务人偿还后通常不直接称为“享有再追索权”，而是其偿还行为可能影响原票据关系的效力及后续权利行使。但为全面分析，我们考虑一种特殊情况：若原债务人（现视为票据关系中的某一方）因前手的原因（如前手提供的票据存在瑕疵）导致其被迫逾期偿还，且该偿还行为非其真实意愿或存在其他合法抗辩事由，那么原债务人可能通过法律途径（如诉讼）向前手主张权利，但这已超出传统“再追索权”的范畴，而是基于其他法律关系（如侵权、合同违约等）的救济。
   • 更贴近原问题意图的票据法分析：在票据追索的连续过程中，若某一被追索人（可视为原问题中的“逾期偿还者”在票据关系中的对应角色，但实际中逾期偿还者可能是追索人或被追索人之一）在偿还票据金额后，取得了票据并享有再追索权，这是票据法赋予的。但此处的“逾期偿还”并非决定再追索权的关键因素，而是偿还行为本身（无论是否逾期）及票据的流转、拒绝证明等要件决定了再追索权的行使。若原问题中的“逾期偿还”指的是票据被追索后的偿还，且该偿还符合票据法规定，那么偿还者（若其后续成为新的持票人）在满足一定条件下（如取得拒绝证明、在法定期限内行使等）是享有再追索权的。但需明确，此处的“逾期”并非再追索权的直接决定因素。

3. 若存在其他特殊约定或法律规定：

   • 在某些特殊的债务债权关系中，双方可能约定了逾期偿还后的特定权利义务关系，包括再追索权。例如，双方可能约定，若债务人逾期偿还，债权人有权要求债务人支付额外费用，同时债务人在特定条件下仍保留对债权人的某种追索权（尽管这种情况较为罕见）。此外，某些特定领域的法律（如金融法、消费者权益保护法等）也可能对逾期偿还后的权利义务关系有特殊规定。

法律建议：

• 对于一般的债务债权关系，逾期偿还后原债务关系通常消灭，不享有再追索权。
• 若涉及票据法中的票据追索，需根据票据法的具体规定和案情来判断是否享有再追索权，且“逾期”并非直接决定因素。
• 若存在其他特殊约定或法律规定，应仔细审查相关条款和法律规定，以确定逾期偿还后的权利义务关系。

可能后果：

• 若错误地认为逾期偿还后仍享有再追索权，并据此采取行动，可能导致法律纠纷和不必要的损失。
• 若忽视特殊约定或法律规定，可能错过行使权利或履行义务的时机，从而承担不利的法律后果。

如有具体案情或法律问题，欢迎直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律分析和建议。