债务加入方在偿还债务后，确实享有对原债务人的追偿权。以下是对此问题的详细分析：
一、债务加入的法律性质
债务加入，又称并存的债务承担，是指第三人加入到原债务关系中，与原债务人共同承担债务。这种加入并不免除原债务人的责任，而是与原债务人共同对债权人承担责任。在债务加入的法律关系中，存在三方主体：债权人、原债务人和加入方。
二、追偿权的法律依据
公平原则：从公平原则的角度出发，债务加入方在承担债务后，有权向原债务人追偿。因为债务加入方并非债务的原始承担者，其加入债务关系往往是为了帮助原债务人履行债务或基于其他特定目的。如果债务加入方在承担债务后不能向原债务人追偿，显然对债务加入方不公平。
合同相对性原则的突破：虽然合同具有相对性，原则上仅约束合同双方当事人。但在债务加入的情况下，由于加入方与原债务人共同对债权人承担责任，这种共同责任关系实际上突破了合同相对性原则。因此，在债务加入方承担债务后，其有权基于这种共同责任关系向原债务人追偿。
法律实践：在司法实践中，法院通常也会支持债务加入方在承担债务后向原债务人追偿的请求。这既体现了对公平原则的维护，也符合债务加入的法律性质。
三、追偿权的行使条件
债务加入方已实际承担债务：这是追偿权行使的前提条件。如果债务加入方尚未实际承担债务，则无权向原债务人追偿。
债务加入方承担债务的范围明确：债务加入方在承担债务时，应与原债务人明确约定承担债务的范围。如果范围不明确，可能导致追偿时产生争议。
追偿请求应在合理期限内提出：债务加入方在承担债务后，应在合理期限内向原债务人提出追偿请求。如果逾期提出，可能影响追偿权的行使。
四、追偿权的行使方式
债务加入方在行使追偿权时，可以通过协商、调解、仲裁或诉讼等方式进行。具体选择哪种方式，应根据实际情况和双方当事人的意愿进行决定。
五、特殊情况下的考虑
如果债务加入方与原债务人之间存在其他约定或法律关系（如担保关系、合作关系等），这些约定或法律关系可能对追偿权的行使产生影响。在这种情况下，债务加入方在行使追偿权时，应充分考虑这些约定或法律关系，并遵循相关法律法规的规定。
总结与建议：
债务加入方在偿还债务后，确实享有对原债务人的追偿权。这是基于公平原则、合同相对性原则的突破以及法律实践的支持。在行使追偿权时，债务加入方应注意满足行使条件，并选择合适的行使方式。如果遇到特殊情况或争议，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。