面对交警未出具交通事故认定书的情况，您可以按照以下步骤来有效解决问题，并确保自身合法权益得到维护：
一、初步沟通与了解原因
首先，建议您主动与负责处理该事故的交警进行友好、诚恳的沟通。询问其不开具事故认定书的具体原因，这可能是因为案情复杂、证据不足、程序未走完或存在其他特殊情况。同时，如果您掌握有与事故相关的证据或线索，如现场照片、视频、证人证言等，应积极提供给交警，以协助他们更快完成调查和认定工作。
二、明确时间要求与督促履行职责
根据相关法律规定，公安机关交通管理部门应当自现场调查之日起十日内制作道路交通事故认定书；对于需要检验、鉴定的案件，应在检验报告、鉴定意见确定之日起五日内制作认定书。若超出这些时间限制仍未出具认定书，您可以：
提交书面申请：向交警部门提交书面申请，明确要求尽快出具交通事故认定书，并详细说明事故基本情况和时间节点等重要信息。书面申请需一式两份，一份留存作为证据，另一份提交给交警部门，并注意保留好提交申请的相关凭证。
向上级部门反映：如交警部门仍不作为，您可向该交警所属的上级管理部门（如公安局交警总队）进行反映。通过拨打投诉电话、发送电子邮件或前往办公地点当面反映情况等方式，请求上级部门督促下级部门尽快处理。
三、保留关键证据
在整个过程中，务必妥善保留与事故有关的所有证据。这些证据不仅有助于推动认定书的出具，也可能在后续的理赔或纠纷处理中发挥重要作用。证据包括但不限于现场照片、视频、证人证言、医疗记录、车辆受损情况记录等。
四、考虑法律途径与咨询专业律师
若通过上述途径均无法解决问题，您应考虑通过法律途径来维护自己的合法权益：
行政复议：根据《行政复议法》，您可在知道交警部门不履行法定职责之日起六十日内提出行政复议申请。复议机关会对该情况进行审查，并作出相应决定。申请时需准备行政复议申请书、身份证复印件、与事故相关的证据材料以及交警部门未出具认定书的相关证明等。
行政诉讼：如行政复议未能解决问题，或您不愿进行行政复议，可依据《行政诉讼法》在知道或应当知道交警部门不履行职责之日起六个月内，向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。诉讼过程中，您需提供充分证据证明交警部门存在不作为的情况及其对自己造成的影响。在此之前，建议您咨询专业律师，了解您的合法权益及可采取的法律措施。
五、保持冷静理性与及时了解法律法规
在处理此类问题时，请保持冷静和理性，避免采取过激行为。同时，及时了解相关法律法规和程序规定，以便更好地维护自己的合法权益。
综上所述，面对交警未出具交通事故认定书的情况，您应通过沟通、督促、保留证据以及考虑法律途径等方式来解决问题，并确保自身权益得到有效维护。