关于公司解除劳动关系的赔偿问题，这确实是一个涉及劳动者切身利益的重要话题。下面，我将根据不同情形，为您详细梳理公司解除劳动关系时所需承担的赔偿责任。
一、公司无需支付赔偿的情形
如果劳动者存在以下过错，公司有权解除劳动合同且无需承担经济补偿：
- 试用期间不符合录用条件：若劳动者在试用期内未能达到公司设定的录用标准，公司可以解除劳动合同。
- 严重违反公司规章制度：劳动者若严重违反公司的规章制度，公司有权解除劳动合同。
- 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害：劳动者因严重失职或营私舞弊行为给公司带来重大损失，公司可以解除劳动合同。
- 与其他公司建立劳动关系，对本单位工作造成严重影响或拒不改正：若劳动者同时与其他公司建立劳动关系，且对本单位工作造成严重影响，或经公司提出后拒不改正，公司可以解除劳动合同。
- 以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同，导致合同无效：劳动者若通过欺诈、胁迫等手段订立或变更劳动合同，导致合同无效，公司可以解除劳动合同。
- 被依法追究刑事责任：劳动者若被依法追究刑事责任，公司有权解除劳动合同。
二、公司需支付经济补偿的情形及标准
在以下情形中，公司解除劳动合同应向劳动者支付经济补偿：
- 双方协商一致解除：若双方协商一致解除劳动合同，公司应支付经济补偿。
- 劳动者因病或非因工负伤，医疗期满后无法从事原工作或另行安排的工作：劳动者因病或非因工负伤，在医疗期满后无法从事原工作或公司另行安排的工作，公司应支付经济补偿。
- 劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任：若劳动者不能胜任工作，经过培训或调整岗位后仍不能胜任，公司应支付经济补偿。
- 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且未达成变更协议：若劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未达成变更协议，公司应支付经济补偿。
- 公司因破产重整、生产经营困难、转产等技术革新或经营方式调整需裁减人员：公司因上述原因需裁减人员时，应支付经济补偿。
- 劳动合同期满，除用人单位维持或提高条件续订而劳动者不同意的情况外：劳动合同期满时，若公司未维持或提高条件续订，而劳动者不同意续订，公司应支付经济补偿。
- 用人单位被依法宣告破产、吊销营业执照、责令关闭、撤销或提前解散：在这些情况下，公司应支付经济补偿。
经济补偿的计算标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，则按三倍数额支付，最高不超过十二年。此处的“月工资”指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
三、公司违法解除需支付赔偿金的情形
若公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无故解雇或在员工处于孕期、产期、哺乳期等不得解除的期间解除劳动关系，公司应依照上述经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
四、额外注意事项
- 代通知金：若公司未提前一个月通知员工即解雇，还需额外支付一个月工资作为代通知金。
- 维权途径：若劳动者认为公司解除劳动合同的行为违法或不合理，可以通过与公司协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等方式维护自身权益。
综上所述，公司在解除劳动关系时，应根据具体情形判断是否需要支付经济补偿或赔偿金，并严格按照法律规定执行。这不仅有助于维护劳动者的合法权益，也能确保公司的合法运营和稳定发展。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时咨询专业律师。