当您发现商家赠送的赠品存在食品问题时，您完全有权要求商家进行相应的赔偿。以下是我为您详细梳理的赔偿依据、可主张的赔偿内容以及建议的维权步骤，希望能对您有所帮助。
一、赔偿依据
首先，根据《中华人民共和国食品安全法》及《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，商家销售或赠送过期、变质等存在安全问题的食品，均属于违法行为。商家有义务保证所提供的食品，包括赠品，都是安全、符合标准的。因此，当赠品出现食品问题时，您有权要求商家承担相应的法律责任。
二、可主张的赔偿内容
退款或换货：
- 您有权要求商家对存在问题的赠品进行更换，确保您获得符合安全标准的产品。
- 如果赠品是与主商品一同销售的，您还可以选择退货并退还相应的款项。
增加赔偿：
- 根据相关法律规定，如果商家明知赠品存在问题而故意赠送，构成欺诈行为，您可以要求商家支付价款十倍或损失三倍的赔偿金。
- 需要注意的是，如果增加赔偿的金额不足一千元，那么按照一千元来计算。
其他损失赔偿：
- 如果您因食用问题赠品导致身体健康受损，或者产生了其他财产损失，如医疗费、误工费、护理费等，您有权要求商家进行赔偿。
三、维权步骤与建议
收集证据：
- 保留好购买商品的凭证，如发票、收据、购物小票等，这些是证明您购买行为的重要证据。
- 同时，保存好问题赠品的实物、包装等，以便后续作为证明赠品情况的证据。
与商家协商：
- 直接与商家沟通，明确表达您的诉求和所依据的法律法规。
- 在协商过程中，注意保留好聊天记录、通话录音等，以备后续使用。
向相关部门投诉：
- 如果协商无果，您可以向消费者协会（12315）或食品药品监督管理部门投诉举报，请求他们介入调解。
提起诉讼：
- 如果通过上述途径均无法解决问题，您还可以考虑向法院提起诉讼，通过法律途径来维护自己的合法权益。
综上所述，当商家赠送的赠品出现食品问题时，您应依法维护自身权益，按照上述步骤进行索赔。这不仅是对您个人权益的保护，也是对市场秩序的维护和对不法商家的有效制约。希望这些建议能对您有所帮助。