私生子的母亲在符合一定条件下，确实有权利申请财产保全。以下是对这一问题的详细分析：
一、财产保全的基本概念与法律依据
财产保全，是指人民法院在利害关系人起诉前或者当事人起诉后，为保障将来的生效判决能够得到执行或者避免财产遭受损失，对当事人的财产或者争议的标的物，采取限制当事人处分的强制措施。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，财产保全分为诉前财产保全和诉讼中财产保全两种。
二、私生子母亲申请财产保全的资格与条件
资格：私生子的母亲，作为孩子的法定监护人之一（在父亲未明确或无法履行监护职责时），有权为了孩子的利益提起相关诉讼，并在符合法定条件时申请财产保全。这并不直接取决于孩子的出生方式（婚生或非婚生），而是基于母亲作为监护人的法律地位。
条件：
- 情况紧急：如果私生子的父亲或其他相关方存在转移、隐匿、变卖财产等可能损害孩子利益的行为，且情况紧急，不立即申请财产保全将会使孩子的合法权益受到难以弥补的损害。
- 提供担保：根据法律规定，申请财产保全通常需要提供一定的担保，以确保因保全错误给被申请人造成损失时，申请人有能力承担赔偿责任。
- 提交申请书：需要向人民法院提交书面申请书，明确说明申请保全的财产、保全的方式、保全的范围以及申请保全的理由等。
三、申请财产保全的具体流程
- 准备材料：包括申请书、担保材料（如担保书、保证金等）、相关证据材料（如证明孩子身份、父亲身份、财产状况以及存在紧急情况等证据）。
- 提交申请：将准备好的材料提交至有管辖权的人民法院。
- 法院审查：法院会对申请进行审查，包括审查申请书的合法性、担保的充分性以及是否存在紧急情况等。
- 作出裁定：如果法院认为申请符合法定条件，会作出财产保全的裁定，并立即开始执行。
四、可能面临的法律后果与注意事项
- 保全错误：如果申请财产保全后，法院最终判决不支持申请人的诉讼请求，或者保全措施给被申请人造成了不必要的损失，申请人可能需要承担赔偿责任。
- 及时起诉或仲裁：诉前财产保全的申请人需要在法院采取保全措施后的一定期限内（通常是30日内）提起诉讼或申请仲裁，否则法院会解除保全措施。
- 关注保全期限：财产保全的期限是有限的，申请人需要在保全期限内及时行使权利，否则保全措施可能会自动解除。
建议：如果您作为私生子的母亲，认为有必要申请财产保全以保护孩子的利益，建议尽快咨询专业律师，详细了解申请财产保全的具体流程、所需材料以及可能面临的法律后果。同时，也要注意收集和保存相关证据，以支持您的申请。如果您有任何法律问题，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。