危害公共安全罪是一个概括性的罪名，它侵犯的客体是社会的公共安全，即不特定多数人的生命、健康和重大公私财产安全。这类犯罪的本质特征在于其不特定性，即对其侵害的对象和可能造成的危害后果，事前往往无法预料和控制。打架斗殴通常是双方或多方个人之间基于冲突、矛盾等发生的肢体冲突，这种冲突侵害的主要是特定个人的人身权利，如造成他人身体受伤等，因此，打架行为一般不符合危害公共安全罪的构成要件。
打架斗殴可能构成的其他罪名
故意伤害罪：如果打架斗殴行为造成了他人轻伤、重伤或死亡，那么可能构成故意伤害罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
聚众斗殴罪：如果打架斗殴是聚众进行的，且行为人为首要分子或其他积极参加者，那么可能构成聚众斗殴罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百九十二条，聚众斗殴的，对首要分子和其他积极参加的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；有特定情形（如多次聚众斗殴、聚众斗殴人数多且规模大、在公共场所或交通要道聚众斗殴造成社会秩序严重混乱、持械聚众斗殴）的，对首要分子和其他积极参加的，处三年以上十年以下有期徒刑。
寻衅滋事罪：如果打架斗殴行为随意殴打他人，情节恶劣，或实施其他破坏社会秩序的行为，那么可能构成寻衅滋事罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百九十三条，有随意殴打他人情节恶劣、追逐拦截辱骂恐吓他人情节恶劣、强拿硬要或任意损毁占用公私财物情节严重、在公共场所起哄闹事造成公共场所秩序严重混乱等行为之一的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
打架斗殴不构成刑事犯罪的情形
如果打架斗殴情节较轻，没有造成轻伤以上的伤害后果，也未严重破坏社会秩序，则可能不构成刑事犯罪，而是属于违反《中华人民共和国治安管理处罚法》的违法行为。此时，一般会面临五日以上十日以下拘留，并可处五百元以下罚款；情节较轻的，则处五日以下拘留或五百元以下罚款。
虽然打架一般不构成危害公共安全罪，但如果打架行为具有危害不特定多数人的生命、健康和重大公私财产安全的性质，例如在人员密集的公共场所、交通要道等进行持械大规模斗殴，严重扰乱公共秩序，并对公共安全造成现实威胁或危害后果时，则可能会以危害公共安全类犯罪论处，如“以危险方法危害公共安全罪”等。但这种情况相对较少，需要结合具体行为的性质、场所、手段、造成的后果等多方面因素综合判断。
总结与建议：打架斗殴的法律后果因情节和后果的不同而有所差异。为避免不必要的法律纠纷和后果，建议公众在日常生活中保持冷静和理智，避免参与打架斗殴等违法活动。如遇到相关情况，应及时报警并寻求法律援助。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。