在刑事拘留的公安阶段，取保候审的次数并没有明确的法律限制，但能否取保成功需根据具体案情和法律规定来判断。以下是对这一问题的详细分析：

取保候审的法律依据

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，犯罪嫌疑人、被告人符合一定条件的，可以取保候审。这些条件主要包括：

1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；
3. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。

取保候审的次数

• 法律未限制次数：刑事诉讼法并未规定在公安阶段可以取保候审的具体次数。这意味着，只要符合取保候审的条件，理论上可以多次申请。
• 实际操作的考量：然而，在实际操作中，公安机关会根据案件的具体情况、犯罪嫌疑人的社会危险性、证据的充分性等因素来综合判断是否同意取保候审。如果第一次申请被拒绝，通常意味着公安机关认为犯罪嫌疑人存在较大的社会危险性或者案件证据尚不充分。在这种情况下，再次申请取保候审的成功率可能会降低。

取保候审的申请与决定

• 申请主体：犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护律师有权申请取保候审。
• 决定机关：取保候审的决定由公安机关、人民检察院或人民法院根据案件的具体情况作出。在公安阶段，主要由公安机关负责决定。
• 决定程序：公安机关在收到取保候审的申请后，会进行审查，并根据案件情况决定是否同意。如果同意，会出具取保候审决定书，并要求犯罪嫌疑人提供保证人或交纳保证金。

法律建议

1. 及时咨询专业律师：如果犯罪嫌疑人或其家属希望申请取保候审，建议及时咨询专业律师，了解案件的具体情况和取保候审的可能性。
2. 准备充分证据：在申请取保候审时，应准备充分的证据来证明犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，如医疗证明、社会关系证明等。
3. 遵守取保候审规定：如果成功取保候审，犯罪嫌疑人应严格遵守取保候审的规定，如不得离开指定区域、不得干扰证人作证等，否则可能会被撤销取保候审并重新羁押。

总结来说，虽然法律没有明确规定在刑事拘留的公安阶段可以取保候审的次数，但能否取保成功需根据具体案情和法律规定来判断。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。