针对您提出的“抚养了10多年的弃婴能否让法院判监护权”的问题，这确实是一个涉及法律与情感交织的复杂议题。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，在法定监护人缺位的情况下，长期抚养弃婴且具备监护能力的人，是有可能通过法律途径获得监护权的。这一点在我国的法律体系中是有明确依据的。
法律依据与原则
《中华人民共和国民法典》第二十七条：该条款规定了未成年人的监护人顺序，首先为父母，若父母无法履行监护职责或已死亡，则依次由祖父母、外祖父母、兄姐等担任。若这些亲属均无法担任，则“其他愿意担任监护人的个人或者组织，但是须经未成年人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意”。
最有利于被监护人原则：我国立法将这一原则写入监护制度，强调在指定监护人时，应从未成年人利益最大化的角度出发，切实保护好未成年人的合法权益。
实际情况与法院考量
在您所描述的情境中，您已经抚养了弃婴10多年，这期间您与孩子之间无疑建立了深厚的情感联系。若您希望获得孩子的监护权，您需要向法院证明以下几点：
您具备监护能力：这包括稳定的经济收入、健康的身体状况、良好的道德品质以及能够为孩子提供稳定的生活环境和教育条件。
孩子处于无人监护的状态：即孩子的法定监护人（如父母）无法履行监护职责，且没有其他亲属能够担任监护人。
从最有利于孩子的角度出发：您需要向法院说明，由您担任监护人更符合孩子的利益，能够为孩子提供更好的成长环境和未来发展。
法律程序与建议
收集证据：您需要收集能够证明您具备监护能力、孩子处于无人监护状态以及由您担任监护人更有利于孩子的证据。这些证据可以包括您的经济状况证明、健康证明、与孩子的合影、社区或邻居的证言等。
向法院申请：在收集到足够证据后，您可以向孩子住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门提出申请，请求他们指定您为监护人。若他们对您的申请有异议或未作出指定，您可以直接向人民法院提起诉讼，请求法院指定您为监护人。
尊重法院裁决：法院在审理此类案件时，会综合考虑多重因素，包括您的监护能力、孩子的利益以及孩子的真实意愿等。因此，您需要尊重法院的裁决结果，并积极配合法院的工作。
案例参考
以“拾到”的孩子如何确定监护人一案为例，法院在审理时并未局限于当事人陈述，而是主动向公安机关核实弃婴捡拾、寻亲过程，并向社区居委会、小区物业公司工作人员调查了解实际抚养情况。通过综合考量情感联系、抚养事实、生活稳定性等多重因素，法院作出了最有利于儿童健康成长的裁决。这一案例充分说明了法院在审理此类案件时的严谨态度和人文关怀。
综上所述，若您希望获得抚养了10多年的弃婴的监护权，您可以通过法律途径向法院提出申请，并积极配合法院的工作。法院会根据您的实际情况和孩子的利益作出公正裁决。希望这些信息能对您有所帮助。